Kalkulator wartości oczekiwanej
Ten kalkulator liczy wartość oczekiwaną E(X) = Σ xᵢ·pᵢ — średni wynik „na dystansie” — plus wariancję i odchylenie. Prawdopodobieństwa wpisujesz jako ułamki, procenty albo dowolne wagi (sam wykryje i znormalizuje). Dla gier ocenia opłacalność.
🧮 Policz od razu
Co liczy kalkulator wartości oczekiwanej?
Wartość oczekiwana E(X) to średni wynik, do którego zmierza losowość powtarzana wiele razy: Σ wartość × prawdopodobieństwo. Wpisujesz dwie listy (spacjami): możliwe wyniki i ich prawdopodobieństwa — kalkulator przyjmie ułamki sumujące się do 1, procenty do 100, a nawet surowe wagi (znormalizuje i uczciwie to zaznaczy). W komplecie wariancja i odchylenie, a dla gier z wygraną i przegraną — werdykt opłacalności.
Środek ciężkości losu
E(X) to środek ciężkości rozkładu: każda wartość „waży” tyle, ile jej prawdopodobieństwo. Paradoks pierwszej lekcji: kostka ma E = 3,5, choć 3,5 nigdy nie wypada — oczekiwana to nie „typowy wynik”, lecz średnia długoterminowa (prawo wielkich liczb gwarantuje zbieżność — sprawdź w naszym symulatorze rzutów!). Druga liczba, wariancja, dopowiada charakter: ta sama E może kryć nudną stabilność albo rollercoaster.
Przykład krok po kroku
Gra: wygrywasz 10 zł z szansą 30%, przegrywasz 2 zł z szansą 70%. E = 10·0,3 + (−2)·0,7 = 3 − 1,4 = +1,6 zł na rundę — gra opłacalna: sto rund to średnio +160 zł (choć pojedyncze wieczory bywają bolesne — odchylenie ~5,5 zł ostrzega). Odwróć role i policz z perspektywy organizatora: jego E = −1,6. W grach o sumie zerowej czyjś plus to zawsze czyjś minus.
Tak zarabiają kasyna, ubezpieczyciele i loterie
Cały przemysł ryzyka to inżynieria E(X). Ruletka: obstawiasz kolor, wypłata 1:1, ale pól jest 37 (zero!) → E = −1/37 ≈ −2,7% każdej stawki — matematyczny czynsz kasyna. Lotto: E kuponu to zwykle ~50% jego ceny. Ubezpieczenie ma E ujemne dla klienta (składki > średnie wypłaty — stąd zysk firmy), a i tak bywa racjonalne: płacisz kilka złotych oczekiwanej „straty” za zdjęcie ryzyka katastrofy. E(X) mówi „ile średnio”, ale decyzje ważą też wariancję — i to jest dojrzała lekcja tego wzoru.
Gdzie się to przydaje?
Ocena gier i loterii (grać czy nie grać — policz!), zadania maturalne ze zmiennej losowej, poker (EV zagrania to religia zawodowców), decyzje biznesowe (oczekiwany zysk scenariuszy), ubezpieczenia i gwarancje przedłużone (prawie zawsze E < 0 dla kupującego!). Prawdopodobieństwa na wejście policzysz w kalkulatorach obok — a zbieżność do E zobaczysz na własne oczy w symulatorach rzutów.