Kalkulator pochodnych z rozwiązaniem
Narzędzie oblicza pochodną funkcji i pokazuje kolejne kroki różniczkowania wraz ze wskazaniem zastosowanych wzorów.
Pochodna opisuje tempo zmiany funkcji. Geometrycznie jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu w danym punkcie.
Podstawowe wzory
- (xn)′ = n · xn−1
- (sin x)′ = cos x
- (cos x)′ = −sin x
- (ex)′ = ex
- (ln x)′ = 1/x
Pochodna stałej wynosi zero — funkcja stała się nie zmienia, więc tempo zmiany jest zerowe.
Reguły różniczkowania
- Sumy — pochodne dodaje się osobno
- Iloczynu — (fg)′ = f′g + fg′
- Ilorazu — (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
- Złożenia — pochodna zewnętrznej razy pochodna wewnętrznej
Najczęstszy błąd to potraktowanie pochodnej iloczynu jako iloczynu pochodnych. Dla sumy taka zależność działa, dla iloczynu nie — i właśnie to przenoszenie reguły z dodawania na mnożenie jest źródłem większości pomyłek.
Do czego służy pochodna
Wyznaczanie ekstremów opiera się na tym, że w punkcie największej albo najmniejszej wartości styczna jest pozioma, czyli pochodna wynosi zero. Miejsca zerowe pochodnej wskazują więc kandydatów na ekstrema.
W fizyce pochodna drogi po czasie daje prędkość, a pochodna prędkości przyspieszenie. To najbardziej namacalna ilustracja tego, czym pochodna jest: opisuje, jak szybko zmienia się wielkość wyjściowa.