Kalkulator całek z rozwiązaniem

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania. Szukamy funkcji, której pochodna daje wyrażenie podcałkowe.

Całka nieoznaczona a oznaczona

• Nieoznaczona — wynikiem jest rodzina funkcji, stąd stała C
• Oznaczona — wynikiem jest liczba, obliczana jako różnica wartości funkcji pierwotnej na krańcach przedziału

Stała całkowania nie jest formalnością: pochodna stałej wynosi zero, więc nieskończenie wiele funkcji ma tę samą pochodną. Pominięcie C w całce nieoznaczonej to błąd, nie uproszczenie.

Podstawowe wzory

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, dla n ≠ −1
• ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫sin x dx = −cos x + C

Zastrzeżenie n ≠ −1 tłumaczy drugi wzór: dla wykładnika minus jeden pierwszy wzór dawałby dzielenie przez zero, więc wynik jest zupełnie innej postaci.

Metody całkowania

• Podstawianie — gdy w wyrażeniu widać funkcję i jej pochodną
• Przez części — przy iloczynie funkcji różnych typów
• Rozkład na ułamki proste — przy funkcjach wymiernych

Zastosowanie geometryczne

Całka oznaczona odpowiada polu obszaru między wykresem a osią X. Warto pamiętać, że fragmenty poniżej osi wnoszą wartość ujemną — pole figury i wartość całki to więc dwie różne rzeczy, gdy wykres przecina oś.

Przy zadaniach o pole trzeba wtedy rozbić przedział w miejscach zerowych i sumować wartości bezwzględne wyników.