Kalkulator macierzy — działania i wyznacznik
Narzędzie wykonuje działania na macierzach: dodawanie, mnożenie, transpozycję, obliczanie wyznacznika oraz macierzy odwrotnej.
Macierz to prostokątna tablica liczb. Działania na macierzach rządzą się własnymi regułami, częściowo różnymi od działań na liczbach.
Warunki wykonalności
- Dodawanie — macierze muszą mieć identyczne wymiary
- Mnożenie — liczba kolumn pierwszej musi równać się liczbie wierszy drugiej
- Wyznacznik — tylko dla macierzy kwadratowych
Warunek przy mnożeniu bywa źródłem pomyłek: macierz o wymiarach 2×3 da się pomnożyć przez 3×4, ale nie odwrotnie. Wynik ma wtedy wymiary 2×4 — bierze się skrajne liczby z obu czynników.
Mnożenie nie jest przemienne
To najważniejsza różnica wobec liczb: A · B zwykle nie równa się B · A. Bywa nawet, że jeden z tych iloczynów istnieje, a drugi nie, bo nie spełnia warunku wymiarów.
Wynika stąd, że przy przekształcaniu równań macierzowych trzeba pilnować strony, z której mnożymy — mnożenie obu stron przez macierz z lewej i z prawej daje różne wyniki.
Wyznacznik i macierz odwrotna
Wyznacznik to liczba przypisana macierzy kwadratowej. Jego kluczowa własność: macierz ma odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.
Dla układu równań zapisanego macierzowo oznacza to, że zerowy wyznacznik sygnalizuje układ sprzeczny albo nieoznaczony — czyli brak jednego rozwiązania.
Zastosowania
Macierze opisują przekształcenia geometryczne: obroty, odbicia i skalowanie. Mnożenie macierzy odpowiada wtedy złożeniu przekształceń, a brak przemienności ma prostą interpretację — obrót po odbiciu daje inny wynik niż odbicie po obrocie.