Pierwiastek z 32 — ile wynosi

Pierwiastek z 32 wynosi w przybliżeniu 5,657. W postaci dokładnej zapisuje się go jako 4√2, po wyłączeniu czynnika przed pierwiastek.

Wyłączanie czynnika

Liczbę 32 rozkładamy na iloczyn, w którym jeden składnik jest kwadratem: 32 = 16 · 2. Stąd √32 = √16 · √2 = 4√2.

Warto szukać największego kwadratu mieszczącego się w liczbie. Rozkład 32 = 4 · 8 również jest poprawny, ale daje 2√8, czyli postać nie do końca uproszczoną — pierwiastek z ośmiu wciąż zawiera czynnik do wyłączenia.

Kwadraty przydatne przy rozkładzie

• 4 — 2², 9 — 3², 16 — 4²
• 25 — 5², 36 — 6², 49 — 7²
• 64 — 8², 81 — 9², 100 — 10²

Znajomość kwadratów do stu wystarcza do rozkładu większości liczb pojawiających się w zadaniach szkolnych.

Kontrola wyniku

Liczba 32 leży między kwadratami 25 a 36, więc jej pierwiastek musi mieścić się między 5 a 6. Wartość 5,657 spełnia ten warunek.

To szybkie sprawdzenie warto wykonywać zawsze, bo wyłapuje pomyłki rzędu wielkości. Jeśli wynik wypadł poza przedziałem wyznaczonym przez sąsiednie kwadraty, gdzieś nastąpił błąd rachunkowy.

Potęgi dwójki

Liczba 32 to dwójka podniesiona do piątej potęgi. Pierwiastek z niej można więc zapisać jako 2 do potęgi dwa i pół, co daje ten sam wynik co 4√2.

Takie ujęcie przydaje się w zadaniach z potęgami o wykładnikach ułamkowych. Pierwiastek kwadratowy odpowiada podniesieniu do potęgi jednej drugiej, a pierwiastek sześcienny do potęgi jednej trzeciej — zapis potęgowy pozwala stosować do pierwiastków zwykłe działania na wykładnikach.

Działania z pierwiastkiem z 32

• √32 · √2 — √64 = 8
• √32 : √2 — √16 = 4
• √32 + √8 — 4√2 + 2√2 = 6√2
• (√32)² — 32

Przy dodawaniu konieczne jest wcześniejsze sprowadzenie do wspólnej postaci. Wyrażenia √32 i √8 wyglądają na niepodobne, ale po wyłączeniu czynnika oba zawierają √2 i można je dodać jak wyrazy podobne.

Pierwiastki wyższych stopni

Pierwiastek sześcienny z 32 nie jest liczbą wymierną, bo 32 nie jest sześcianem liczby całkowitej. Pierwiastek piątego stopnia daje natomiast dokładnie 2, bo 32 to dwójka do piątej potęgi.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze rozstrzyga wszystkie takie przypadki naraz. Jeśli wykładnik przy czynniku dzieli się przez stopień pierwiastka, czynnik da się wyprowadzić w całości — to reguła obejmująca pierwiastki dowolnego stopnia.

Gdzie pojawia się pierwiastek z 32

Wartość 4√2 wynika z przekątnej kwadratu o boku 4, bo przekątna wyraża się wzorem a√2. Ten sam wynik daje przekątna ściany sześcianu o krawędzi 4.

Pierwiastki z liczb będących potęgami dwójki wracają w geometrii regularnie, bo twierdzenie Pitagorasa przy równych przyprostokątnych zawsze prowadzi do mnożenia przez √2. Rozpoznanie tego wzorca pozwala przewidzieć postać wyniku, zanim wykona się rachunek.