Pierwiastek z 64 — ile wynosi

Pierwiastek z 64 wynosi dokładnie 8, bo 8 razy 8 daje 64. Pierwiastek sześcienny z tej liczby wynosi natomiast 4.

Dwa różne pierwiastki

• Kwadratowy — √64 = 8, bo 8² = 64
• Sześcienny — ∛64 = 4, bo 4³ = 64
• Szóstego stopnia — 2, bo 2⁶ = 64

Liczba 64 jest jednocześnie kwadratem, sześcianem i szóstą potęgą. To rzadka własność wynikająca z tego, że 64 to dwójka podniesiona do szóstej potęgi, a szóstka dzieli się przez dwa i przez trzy.

Potęgi dwójki

• 2¹ — 2, 2² — 4, 2³ — 8
• 2⁴ — 16, 2⁵ — 32, 2⁶ — 64
• 2⁷ — 128, 2⁸ — 256, 2¹⁰ — 1024

Ciąg ten warto znać na pamięć, bo pojawia się w zadaniach z potęg oraz w informatyce. Liczba 1024 jest podstawą przeliczników pamięci komputerowej, gdzie kilobajt oznacza właśnie tyle bajtów.

Szachownica i ziarna

Liczba 64 to również liczba pól szachownicy. Znana zagadka o ziarnach kładzionych na kolejnych polach, z podwajaniem, prowadzi do sumy przekraczającej osiemnaście trylionów.

Przykład ten służy do pokazania, jak szybko rośnie funkcja wykładnicza. Intuicja zawodzi tu wyjątkowo mocno, bo początkowe wartości wydają się niewielkie, a wynik przerasta roczną produkcję zboża na świecie wielokrotnie.

Działania

• √64 · √4 — 8 · 2 = 16
• √(64 + 36) — √100 = 10
• √640 — 8√10
• √6400 — 80

Ostatni przykład pokazuje wygodną zasadę: dopisanie dwóch zer do liczby pod pierwiastkiem dodaje jedno zero do wyniku. Wynika to z tego, że sto jest kwadratem dziesięciu.

Pierwiastki wyższych stopni

Stopień pierwiastka zapisuje się małą liczbą przy znaku. Brak liczby oznacza domyślnie stopień drugi, czyli pierwiastek kwadratowy.

Przy stopniach nieparzystych można pierwiastkować liczby ujemne, bo sześcian liczby ujemnej pozostaje ujemny. Pierwiastek sześcienny z minus 64 wynosi minus 4, podczas gdy kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Liczby 64 w innych kontekstach

• Szachownica — 64 pola
• Informatyka — architektura 64-bitowa
• Kodowanie — system Base64
• Genetyka — 64 możliwe kodony

Ostatni przypadek wynika z rachunku: cztery zasady azotowe w trójkach dają 4³, czyli 64 kombinacje. Kod genetyczny ma więc więcej kodonów niż dwadzieścia aminokwasów, co oznacza, że część z nich koduje tę samą substancję.

Rozpoznawanie kwadratów

Liczba jest kwadratem, gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje parzystą liczbę razy. Dla 64 mamy sześć dwójek, a szóstka jest parzysta.

Ten sam sposób sprawdza, czy pierwiastek da się uprościć. Rozkład na czynniki pierwsze rozstrzyga wszystkie pytania o pierwiastkowanie — czy wynik jest całkowity, czy da się coś wyłączyć i jakiego stopnia pierwiastek zadziała.

Zapis potęgowy

Pierwiastek stopnia n zapisuje się jako potęgę o wykładniku jeden przez n. Pierwiastek sześcienny z 64 to więc 64 do potęgi jednej trzeciej.

Zapis ten pozwala stosować zwykłe reguły działań na wykładnikach. Mnożenie pierwiastków różnych stopni sprowadza się wtedy do dodawania ułamków, co bywa prostsze niż operowanie samymi znakami pierwiastka.