Pierwiastek z 20 — ile wynosi
Pierwiastek z 20 wynosi 2√5, czyli w przybliżeniu 4,47. Da się go uprościć, bo 20 zawiera czynnik będący kwadratem.
Jak uprościć
- Rozkładamy 20 na czynniki: 4 razy 5
- Liczba 4 jest kwadratem, więc wyłączamy z niej 2
- Otrzymujemy 2√5
Szukamy zawsze największego kwadratu mieszczącego się w liczbie. Rozkład na 2 razy 10 nie pomoże, bo żaden z czynników nie jest kwadratem.
Szacowanie wartości
Liczba 20 leży między kwadratami 16 a 25, więc pierwiastek mieści się między 4 a 5. Jest bliżej czwórki, bo 20 jest bliżej 16 niż 25.
Można też skorzystać z postaci uproszczonej: √5 to około 2,24, więc podwojenie daje 4,47. Obie metody prowadzą do tego samego wyniku, a ich zgodność jest dobrą kontrolą poprawności.
Podobne przypadki
- √20 — 2√5
- √45 — 3√5
- √80 — 4√5
- √500 — 10√5
Wszystkie zawierają czynnik 5 i rozkładają się podobnie. Rozpoznanie takiej rodziny przyspiesza rachunki — wyniki różnią się tylko liczbą przed pierwiastkiem.
Działania
- √20 · √5 — √100 = 10
- √20 : √5 — √4 = 2
- √20 + √5 — 2√5 + √5 = 3√5
- √20 − √5 — √5
Dodawanie pierwiastków jest możliwe dopiero po uproszczeniu, gdy stają się wyrazami podobnymi. Bez tego kroku zapis √20 + √5 wygląda na niemożliwy do zredukowania, choć w istocie się upraszcza.
Usuwanie niewymierności
Wyrażenie jeden podzielone przez √20 przekształcamy, korzystając najpierw z postaci uproszczonej. Zapis 1 przez 2√5 mnożymy przez √5 w liczniku i mianowniku.
Otrzymujemy √5 podzielone przez 10, czyli około 0,224. Uproszczenie pierwiastka przed przekształceniem zmniejsza liczbę działań — mnożenie przez √20 dałoby ten sam wynik, ale wymagałoby dodatkowego skracania.
Zastosowanie w geometrii
Pierwiastek z 20 pojawia się przy przekątnej prostokąta o bokach 2 i 4, bo suma kwadratów wynosi 20. Wynik zapisujemy jako 2√5.
Takie wartości są w geometrii normalne i nie oznaczają błędu w rachunku. Zaokrąglanie stosuje się tylko wtedy, gdy zadanie wprost o to prosi — postać dokładna jest zawsze odpowiedzią pełnoprawną.
Pierwiastki warte zapamiętania
- √2 — 1,41, √3 — 1,73
- √5 — 2,24, √10 — 3,16
- √20 — 4,47, czyli podwojone √5
Znajomość kilku wartości wystarcza, bo po uproszczeniu większość wyników sprowadza się do wielokrotności jednej z nich. Oszacowanie pozwala od razu ocenić, czy odpowiedź z kalkulatora ma właściwy rząd wielkości.
Liczby niewymierne
Pierwiastek z 20 jest liczbą niewymierną, więc jego rozwinięcie dziesiętne nie ma końca ani okresu. Zapis 2√5 jest dokładny, a 4,47 tylko przybliżony.
Dlatego w obliczeniach warto zachować postać pierwiastkową do końca i zaokrąglić dopiero wynik. Zaokrąglanie po drodze kumuluje błędy, co przy kilku działaniach bywa widoczne już na drugim miejscu po przecinku.