Pierwiastek z 27 — ile wynosi

Pierwiastek kwadratowy z 27 wynosi około 5,196, a po uproszczeniu 3√3. Pierwiastek sześcienny z 27 to natomiast dokładnie 3.

Dwa różne pytania

Pytanie o pierwiastek z 27 bywa niejednoznaczne, bo liczba ta jest sześcianem trójki, ale nie kwadratem żadnej liczby całkowitej.

Pierwiastek kwadratowy daje wynik niewymierny, a sześcienny liczbę całkowitą. Warto sprawdzić w treści zadania, o który stopień chodzi, bo wyniki różnią się zasadniczo.

Upraszczanie √27

Liczbę 27 zapisujemy jako iloczyn 9 i 3. Dziewiątka jest kwadratem, więc wychodzi przed pierwiastek jako trójka.

Otrzymujemy zapis 3√3, czyli około 5,196. Postać uproszczona jest w zadaniach wymagana, bo wartość przybliżoną można podać zawsze, a dokładną tylko w tej formie.

Pierwiastek sześcienny

• ∛8 — 2
• ∛27 — 3
• ∛64 — 4
• ∛125 — 5
• ∛1000 — 10

Sześciany kolejnych liczb rosną znacznie szybciej niż kwadraty. Między 27 a 64 nie ma innego sześcianu, więc pierwiastki sześcienne liczb z tego przedziału mieszczą się między 3 a 4.

Rodzina trójki

• √3 — około 1,732
• √12 — 2√3
• √27 — 3√3
• √48 — 4√3

Wszystkie te liczby zawierają czynnik 3 pomnożony przez kolejne kwadraty. Rozpoznanie rodziny pozwala uprościć wyrażenie w pamięci, bez rozkładania liczby na czynniki za każdym razem.

Zapis pierwiastków wyższych stopni

Stopień pierwiastka zapisuje się małą cyfrą przed znakiem. Pierwiastek sześcienny ma indeks 3, a kwadratowy nie ma go wcale.

Brak indeksu oznacza zawsze stopień drugi. To skrót przyjęty dla wygody, bo pierwiastek kwadratowy występuje najczęściej — podobnie jak wykładnik 1 pomija się przy potęgach.

Działania z √27

• √27 · √3 — √81 = 9
• √27 / √3 — √9 = 3
• 3√3 + 2√3 — 5√3
• √27 + √12 — 3√3 + 2√3 = 5√3

Ostatni przykład wymaga wcześniejszego uproszczenia obu składników. Pierwiastków nie da się dodać, dopóki nie mają tej samej postaci — dopiero wtedy działają jak wyrażenia algebraiczne z tą samą zmienną.

Zastosowanie w geometrii

Wartość 27 pojawia się przy objętości sześcianu o krawędzi 3, bo trzy do potęgi trzeciej daje 27. Pierwiastek sześcienny pozwala odwrócić to obliczenie.

Znając objętość bryły sześciennej, wyznaczamy krawędź właśnie przez pierwiastek trzeciego stopnia. To najczęstsze zastosowanie tego działania w zadaniach szkolnych.

Szacowanie wyniku

Liczba 27 leży między kwadratami 25 i 36, więc jej pierwiastek kwadratowy mieści się między 5 a 6. Bliskość dwudziestu pięciu wskazuje wynik tuż powyżej 5,1.

Sprawdzenie potwierdza: 5,2 do kwadratu daje 27,04. Oszacowanie zajmuje kilka sekund i wystarcza do sprawdzenia poprawności wyniku z kalkulatora albo z przekształceń.