Pierwiastek z 8 — ile wynosi

Pierwiastek z 8 wynosi w przybliżeniu 2,828. W postaci dokładnej zapisuje się go jako 2√2, bo ósemkę da się rozłożyć na 4 razy 2.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Zapis 2√2 powstaje z rozkładu: √8 = √(4 · 2) = √4 · √2 = 2√2. Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie podpierwiastkowej.

Metoda działa dla każdego pierwiastka. Dla √12 wyłączamy 4 i otrzymujemy 2√3, dla √50 wyłączamy 25 i mamy 5√2. Postać z wyłączonym czynnikiem jest w zadaniach wymagana, bo uchodzi za uproszczoną.

Dlaczego nie zapisujemy wyniku liczbą

Pierwiastek z 8 jest liczbą niewymierną — jego rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie zaczyna powtarzać. Zapis 2,828 to zaokrąglenie, a 2√2 wartość dokładna.

Dlatego w obliczeniach zostawia się postać pierwiastkową do samego końca, a zaokrągla dopiero w odpowiedzi, jeśli polecenie tego wymaga. Zaokrąglanie po drodze kumuluje błąd.

Kiedy pierwiastek jest wymierny

Tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej: 1, 4, 9, 16, 25, 36 i tak dalej. Ósemka leży między 4 a 9, więc jej pierwiastek musi mieścić się między 2 a 3.

To szybka kontrola sensowności wyniku. Skoro 2,8 podniesione do kwadratu daje 7,84, a 2,9 daje 8,41, wartość musi leżeć bliżej 2,83 — i tak właśnie jest.

Działania na pierwiastkach

• √a · √b = √(ab)
• √a : √b = √(a/b)
• √8 · √2 = √16 = 4

Dodawanie rządzi się inną zasadą: 2√2 + 3√2 daje 5√2, ale √8 + √2 wymaga najpierw sprowadzenia do wspólnej postaci. Po wyłączeniu czynnika otrzymujemy 2√2 + √2, czyli 3√2 — bez tego kroku wyrażenia nie da się uprościć.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Wyrażenia z pierwiastkiem w mianowniku sprowadza się do postaci bez niego, mnożąc licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek. Ułamek 1/√8 przekształca się w √8/8, czyli po uproszczeniu √2/4.

Zwyczaj pochodzi z czasów sprzed kalkulatorów, gdy dzielenie przez liczbę niewymierną było znacznie trudniejsze niż mnożenie. Dziś nie ma znaczenia rachunkowego, ale postać z wymiernym mianownikiem pozostaje przyjętą formą zapisu i bywa wymagana w rozwiązaniu.

Pierwiastki w geometrii

Wartość 2√2 pojawia się przy przekątnej kwadratu o boku 2, bo przekątna wynosi a√2. Pierwiastek z dwóch jest tam nieusuwalny — to konsekwencja twierdzenia Pitagorasa, a nie niedokładności pomiaru.

Odkrycie, że przekątnej kwadratu nie da się wyrazić ułamkiem, przypisuje się szkole pitagorejskiej i uchodzi za jeden z przełomów w historii matematyki. Dla starożytnych Greków oznaczało bowiem, że nie wszystko da się opisać stosunkiem liczb całkowitych.