Pierwiastek z 12 — ile wynosi

Pierwiastek z 12 wynosi w przybliżeniu 3,464. W postaci dokładnej zapisuje się go jako 2√3, po wyłączeniu czynnika przed pierwiastek.

Wyłączanie czynnika

Liczbę 12 rozkładamy na iloczyn zawierający kwadrat: 12 = 4 · 3. Stąd √12 = √4 · √3 = 2√3.

Czwórka jest tu największym kwadratem mieszczącym się w liczbie, bo dziewiątka już się nie dzieli. Zawsze szukamy kwadratu największego, inaczej postać pozostanie nie do końca uproszczona.

Kontrola wyniku

Liczba 12 leży między kwadratami 9 a 16, więc jej pierwiastek musi mieścić się między 3 a 4. Wartość 3,464 spełnia ten warunek.

Sprawdzenie można też wykonać na postaci dokładnej: √3 wynosi około 1,73, więc 2√3 daje mniej więcej 3,46. Obie drogi prowadzą do tego samego wyniku i warto stosować je zamiennie.

Działania z pierwiastkiem z 12

• √12 · √3 — √36 = 6
• √12 : √3 — √4 = 2
• √12 + √3 — 2√3 + √3 = 3√3
• √12 − √27 — 2√3 − 3√3 = −√3

Przy dodawaniu i odejmowaniu konieczne jest wcześniejsze sprowadzenie do wspólnej postaci. Wyrażenia √12 i √27 wyglądają na niezwiązane, ale oba zawierają √3 i można je traktować jak wyrazy podobne.

Gdzie się pojawia

Wartość 2√3 wynika między innymi z wysokości trójkąta równobocznego o boku 4, bo wysokość wyraża się wzorem a√3 podzielone przez 2.

Pierwiastek z trójki wraca w geometrii regularnie, wszędzie tam, gdzie występuje kąt 30 lub 60 stopni. Rozpoznanie tego wzorca pozwala przewidzieć postać wyniku, zanim wykona się rachunki.

Pierwiastki warte zapamiętania

• √2 — około 1,41
• √3 — około 1,73
• √5 — około 2,24
• √10 — około 3,16

Znajomość tych czterech wartości pozwala oszacować większość pierwiastków pojawiających się w zadaniach. Po wyłączeniu czynnika wynik sprowadza się zwykle do wielokrotności jednej z nich.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Wyrażenia takie jak jeden podzielone przez √12 przekształca się, mnożąc licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek. Otrzymujemy wtedy √12 w liczniku i 12 w mianowniku.

Po uproszczeniu daje to √3 podzielone przez 6. Zabieg ten nazywa się usuwaniem niewymierności i bywa wymagany w odpowiedzi, mimo że wartość liczbowa się nie zmienia — chodzi o postać uznawaną za uporządkowaną.

Pierwiastek jako potęga

Pierwiastek kwadratowy odpowiada podniesieniu do potęgi jednej drugiej, więc √12 to 12 do potęgi 0,5. Zapis potęgowy pozwala stosować zwykłe działania na wykładnikach.

Ułatwia to obliczenia z pierwiastkami różnych stopni. Pierwiastek sześcienny z liczby to potęga jednej trzeciej, a złożenie dwóch pierwiastków sprowadza się do pomnożenia wykładników — dzięki temu pierwiastek kwadratowy z pierwiastka kwadratowego daje potęgę jednej czwartej.