Pierwiastek z 7 — ile wynosi

Pierwiastek z 7 wynosi około 2,646. Liczba 7 nie jest kwadratem, więc wynik jest niewymierny i nie da się go zapisać dokładnie.

Szacowanie wartości

Liczba 7 leży między kwadratami 4 i 9, więc jej pierwiastek mieści się między 2 a 3. Bliżej dziewiątki niż czwórki, więc wynik przekracza 2,5.

Sprawdzenie potwierdza: 2,6 do kwadratu daje 6,76, a 2,7 daje 7,29. Wynik leży zatem między 2,6 a 2,7 — takie zawężanie pozwala oszacować dowolny pierwiastek bez kalkulatora.

Liczba niewymierna

Pierwiastek z 7 ma nieskończone i nieokresowe rozwinięcie dziesiętne. Nie da się go zapisać jako ułamka zwykłego.

W zadaniach pozostawia się więc zapis √7, a nie przybliżenie. Podstawianie wartości przybliżonej w trakcie obliczeń kumuluje błąd, dlatego zaokrągla się dopiero wynik końcowy.

Działania z √7

• √7 · √7 — 7
• √7 · √2 — √14
• √28 — 2√7
• √63 — 3√7
• 7 / √7 — √7

Ostatni przykład bywa zaskakujący, ale wynika z podstawowej własności. Liczba podzielona przez swój pierwiastek daje ten sam pierwiastek, bo siódemkę można zapisać jako iloczyn dwóch pierwiastków z siedmiu.

Usuwanie niewymierności

Wyrażenia z pierwiastkiem w mianowniku przekształca się, mnożąc licznik i mianownik przez ten pierwiastek. Ułamek 1 przez √7 równa się √7 przez 7.

Zabieg ten nazywa się usuwaniem niewymierności z mianownika. Wartość się nie zmienia, zmienia się tylko postać zapisu — dawniej ułatwiało to ręczne rachunki, a dziś jest wymogiem porządkowym w zadaniach.

Liczby pierwsze pod pierwiastkiem

Pierwiastek z liczby pierwszej nigdy nie upraszcza się do postaci z mniejszą liczbą. Dotyczy to √2, √3, √5, √7 oraz kolejnych.

Uproszczenie wymaga bowiem czynnika będącego kwadratem, a liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki. Rozkład na czynniki od razu pokazuje, czy uproszczenie jest możliwe — to najszybszy sposób sprawdzenia.

Pierwiastek w geometrii

Wartość √7 pojawia się przy twierdzeniu Pitagorasa, gdy suma kwadratów przyprostokątnych daje siedem. Tak jest w trójkącie o bokach √3 i 2.

Wyniki niewymierne są w geometrii regułą, a nie wyjątkiem. Przekątna kwadratu o boku 1 wynosi √2, więc już najprostsza figura prowadzi do liczby niewymiernej — odkrycie to przypisuje się starożytnym Grekom i uchodziło za zaskakujące.

Kolejne pierwiastki

• √2 — około 1,414
• √3 — około 1,732
• √5 — około 2,236
• √7 — około 2,646

Warto znać te przybliżenia z pamięci, bo pojawiają się w wielu zadaniach. Wystarczą trzy miejsca po przecinku, bo wyniki i tak podaje się zaokrąglone.

Sprawdzanie wyniku

Każdy wynik z pierwiastkiem warto sprawdzić, podnosząc go do kwadratu. Jeśli otrzymamy liczbę wyjściową, przekształcenie było poprawne.

Metoda działa też przy postaciach uproszczonych: 2√7 podniesione do kwadratu daje 4 razy 7, czyli 28. Kontrola zajmuje kilka sekund i wyłapuje błędy w wyłączaniu czynnika przed pierwiastek.