Pierwiastek z 1 — ile wynosi

Pierwiastek z 1 wynosi 1. Wynika to wprost z definicji: szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie daje jeden.

Dlaczego wynik to jeden

Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka liczba nieujemna, której kwadrat równa się a. Ponieważ jeden razy jeden daje jeden, pierwiastkiem z jedynki jest właśnie jedynka.

Formalnie kwadrat minus jedynki również wynosi jeden, ale pierwiastek arytmetyczny z definicji jest nieujemny. Dlatego zapis √1 oznacza wyłącznie 1, a nie dwie wartości — to częste nieporozumienie.

Pierwiastki łatwe do zapamiętania

• √0 — 0
• √1 — 1
• √4 — 2, √9 — 3
• √16 — 4, √25 — 5
• √100 — 10

Zero i jedynka są jedynymi liczbami, które równają się własnemu pierwiastkowi. Dla wszystkich pozostałych liczb dodatnich pierwiastek jest od nich mniejszy, gdy są większe od jedynki, a większy, gdy mieszczą się między zerem a jedynką.

Pierwiastek z ułamka

Ta ostatnia zależność bywa zaskakująca. Pierwiastek z jednej czwartej wynosi jedna druga, czyli więcej niż liczba wyjściowa.

Wyjaśnienie jest proste: mnożenie ułamka właściwego przez siebie daje wynik jeszcze mniejszy, więc odwrotność tej operacji musi wartość zwiększać. Jedynka jest punktem, w którym zależność się odwraca.

Pierwiastki wyższych stopni

Pierwiastek dowolnego stopnia z jedynki również wynosi jeden, bo jedynka podniesiona do jakiejkolwiek potęgi pozostaje jedynką.

Ta sama własność sprawia, że jedynka jest elementem neutralnym mnożenia. W zapisie potęgowym √1 to jeden do potęgi jednej drugiej, a każda potęga jedynki daje jeden — niezależnie od wykładnika, także ujemnego i ułamkowego.

Jedynka w działaniach

• Mnożenie — a razy 1 daje a
• Dzielenie — a przez 1 daje a
• Potęgowanie — 1 do dowolnej potęgi daje 1
• Potęga zerowa — każda liczba różna od zera do potęgi 0 daje 1

Ostatnia zasada bywa nieintuicyjna, ale wynika z reguł działań na potęgach. Dzieląc potęgę przez samą siebie, odejmujemy wykładniki i otrzymujemy zero, a jednocześnie wiadomo, że iloraz liczby przez siebie równa się jeden.

Równania z pierwiastkiem

Przy równaniach typu pierwiastek z x równa się liczbie obie strony podnosi się do kwadratu. Trzeba jednak sprawdzić otrzymane rozwiązanie, bo podnoszenie do kwadratu może wprowadzić wynik pozorny.

Wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być ujemne, a sam pierwiastek nie może równać się liczbie ujemnej. Pominięcie tego sprawdzenia jest najczęstszym błędem przy takich równaniach — rachunek wychodzi poprawnie, ale odpowiedź nie spełnia równania wyjściowego.

Warto też pamiętać, że jedynka nie jest liczbą pierwszą, mimo że dzieli się tylko przez siebie i przez jeden. Definicja wymaga dokładnie dwóch różnych dzielników, a jedynka ma tylko jeden — wykluczenie jej z tego zbioru pozwala zachować jednoznaczność rozkładu każdej liczby na czynniki pierwsze.