Kalkulator ciągu geometrycznego

Co liczy kalkulator ciągu geometrycznego?

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę q (iloraz). Na przykład: 3, 6, 12, 24, 48… — tu q = 2. Kalkulator z trzech danych (a₁, q, n) liczy n-ty wyraz i sumę wyrazów, wypisując też początek ciągu. To ciąg „procentu składanego” — rzeczy, które rosną lawinowo.

Wzór na n-ty wyraz

Analogicznie jak w ciągu arytmetycznym: od pierwszego do n-tego wyrazu wykonujemy n−1 mnożeń, więc a₁ · qⁿ⁻¹ = aₙ. Potęga (n−1), nie n — to samo potknięcie co przy ciągu arytmetycznym, tylko z mnożeniem. Różnica w tempie jest kolosalna: ciąg arytmetyczny rośnie „po schodach”, a geometryczny wybucha — dziesiąty wyraz ciągu 1, 2, 4, 8… to już 512.

Wzór na sumę

Suma n wyrazów: a₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1) = Sₙ — pod warunkiem, że q ≠ 1. A gdy q = 1? Wtedy wszystkie wyrazy są identyczne i wzór traci sens (dzielenie przez zero!), ale suma jest banalna: n · a₁. Kalkulator sam rozpoznaje ten przypadek. Iloraz może być też ujemny — wtedy wyrazy skaczą po znakach (1, −2, 4, −8…), co daje ciekawe sumy.

Przykład krok po kroku

Ciąg: a₁ = 3, q = 2, szukamy ósmego wyrazu i sumy. Początek: 3, 6, 12, 24, 48, 96… Wyraz ósmy: 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384. Suma ośmiu wyrazów: 3 × (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 255 = 765. Zauważ: suma jest tylko odrobinę mniejsza od podwojonego ostatniego wyrazu — to typowe dla q = 2, gdzie ostatni wyraz „waży” prawie tyle, co cała reszta razem.

Gdzie się to przydaje?

Ciąg geometryczny to matematyka wzrostu wykładniczego: procent składany na lokacie (co roku ×1,05), podział komórek i wzrost bakterii, łańcuszki i piramidy „poleceń” (dlatego tak szybko się sypią!), legenda o ziarnach na szachownicy (na 64. polu — 2⁶³ ziaren, więcej niż zboża na świecie). Na maturze ciąg geometryczny występuje w duecie z arytmetycznym — warto ćwiczyć oba.