Kalkulator ciągu arytmetycznego
Ten kalkulator liczy ciąg arytmetyczny: podajesz pierwszy wyraz a₁, różnicę r i numer n, a dostajesz n-ty wyraz oraz sumę wszystkich wyrazów od pierwszego do n-tego. Pokazuje też początek ciągu, żebyś widział, jak rośnie.
🧮 Policz od razu
Co liczy kalkulator ciągu arytmetycznego?
Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby r (różnicy) do poprzedniego. Na przykład: 2, 5, 8, 11, 14… — tu r = 3. Kalkulator z trzech danych (pierwszy wyraz a₁, różnica r, numer n) liczy n-ty wyraz i sumę wyrazów od pierwszego do n-tego, a na start wypisuje kilka początkowych wyrazów — żeby było widać, jak ciąg „idzie”.
Wzór na n-ty wyraz
Żeby dojść do n-tego wyrazu, startujemy z a₁ i dodajemy różnicę — ale ile razy? Od wyrazu pierwszego do n-tego wykonujemy n−1 kroków, więc: a₁ + (n−1) · r = aₙ. To „minus jeden” to najczęstsze potknięcie w zadaniach — pamiętaj: do dziesiątego wyrazu prowadzi dziewięć skoków, nie dziesięć. Kalkulator pokazuje to podstawienie liczbowo w krokach.
Wzór na sumę — trik małego Gaussa
Sumę liczymy ze wzoru (a₁ + aₙ) · n ÷ 2 = Sₙ. Skąd się bierze? To słynny trik przypisywany małemu Gaussowi: sparuj pierwszy wyraz z ostatnim, drugi z przedostatnim… — każda para daje tę samą sumę (a₁ + aₙ), a par jest n/2. Gauss policzył tak 1+2+…+100 = 101 × 50 = 5050 w kilka sekund, ku rozpaczy nauczyciela.
Przykład krok po kroku
Ciąg: a₁ = 2, r = 3, szukamy dziesiątego wyrazu i sumy. Początek ciągu: 2, 5, 8, 11, 14, 17… Wyraz dziesiąty: 2 + (10−1) × 3 = 2 + 27 = 29. Suma dziesięciu wyrazów: (2 + 29) × 10 ÷ 2 = 31 × 5 = 155. Różnica może być też ujemna — wtedy ciąg maleje (np. 10, 8, 6, 4, 2). Wypróbuj oba warianty w kalkulatorze.
Gdzie się to przydaje?
Ciągi arytmetyczne opisują wszystko, co rośnie o stałą wartość: oszczędzanie tej samej kwoty co miesiąc, numery miejsc w rzędach kina, kolejne piętra, harmonogramy treningów („co tydzień 2 okrążenia więcej”). Suma ciągu odpowiada na pytania typu „ile łącznie odłożę przez rok?”. Na maturze ciąg arytmetyczny to pewniak — a ten kalkulator błyskawicznie sprawdzi każdy wynik z zeszytu.