Pierwiastek z 4 — ile wynosi
Pierwiastek z 4 wynosi 2, bo 2 razy 2 daje 4. Wynik jest tylko jeden, bo pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny.
Pierwiastek z 4 wynosi 2, bo 2 razy 2 daje 4. To jeden z najprostszych pierwiastków dających liczbę całkowitą.
Dlaczego wynik jest jeden
Zarówno 2, jak i minus 2 podniesione do kwadratu dają 4. Pierwiastek kwadratowy jest jednak z definicji nieujemny, więc √4 równa się wyłącznie 2.
Rozróżnienie to ma znaczenie przy równaniach. Równanie x² = 4 ma dwa rozwiązania, czyli 2 i minus 2, ale sam zapis √4 oznacza tylko jedną wartość — to najczęściej mylona rzecz przy tym temacie.
Pierwiastki z małych liczb
- √1 — 1, √4 — 2
- √9 — 3, √16 — 4
- √25 — 5, √36 — 6
Wartości te warto znać na pamięć, bo pozwalają rozpoznać, kiedy pierwiastek da się uprościć. Liczba niebędąca kwadratem daje wynik niewymierny.
Pierwiastek z ułamka
Pierwiastek z jednej czwartej wynosi jedna druga, bo połowa pomnożona przez siebie daje ćwiartkę. Wynik jest więc większy od liczby wyjściowej.
Dla liczb większych od jedynki pierwiastek zmniejsza wartość, a dla ułamków między zerem a jedynką ją zwiększa. Zależność ta odwraca się dokładnie w punkcie jeden, gdzie pierwiastek równa się samej liczbie.
Działania
- √4 · √9 — 2 · 3 = 6
- √4 + √9 — 2 + 3 = 5
- √(4 · 9) — √36 = 6
- √(4 + 9) — √13, około 3,61
Zestawienie pokazuje kluczową różnicę: pierwiastek iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków, ale pierwiastek sumy nie równa się sumie pierwiastków. Pierwsze można rozdzielać, drugiego nie.
Pierwiastek w równaniach
Rozwiązując równanie x² = 4, podajemy oba rozwiązania: x równa się 2 albo minus 2. Zapisuje się to symbolem plus minus przed pierwiastkiem.
Pominięcie rozwiązania ujemnego jest częstym błędem. Pierwiastkowanie obu stron równania wymaga uwzględnienia znaku, bo funkcja podnoszenia do kwadratu przypisuje tę samą wartość dwóm różnym liczbom.
Pierwiastek z kwadratu
Wyrażenie √(x²) równa się wartości bezwzględnej x, a nie samemu x. Dla x równego minus 2 otrzymujemy 2, a nie minus 2.
Zasada ta wynika wprost z nieujemności pierwiastka. Bywa pomijana w przekształceniach, co prowadzi do wyników pozornie poprawnych, ale ze złym znakiem — warto sprawdzać takie miejsca podstawieniem liczby ujemnej.
Gdzie pojawia się √4
Wartość ta wychodzi między innymi przy obliczaniu boku kwadratu o polu 4 oraz przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, gdzie wyróżnik bywa równy czterem.
Wyróżnik równy 4 daje pierwiastek 2, więc rozwiązania są liczbami wymiernymi. Wartość wyróżnika rozstrzyga o liczbie i postaci rozwiązań — dodatni daje dwa, zerowy jedno, a ujemny żadnego w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pierwiastki wyższych stopni
Pierwiastek sześcienny z 8 wynosi 2, a czwartego stopnia z 16 również 2. Ta sama liczba bywa więc wynikiem różnych działań na różnych liczbach.
Przy stopniach nieparzystych można pierwiastkować liczby ujemne, bo iloczyn nieparzystej liczby czynników ujemnych pozostaje ujemny. Przy parzystych nie jest to możliwe w zbiorze liczb rzeczywistych.