Pierwiastek z 0 — ile wynosi

Pierwiastek z zera wynosi 0. To jedyna liczba obok jedynki, która równa się własnemu pierwiastkowi kwadratowemu.

Dlaczego zero

Pierwiastek kwadratowy z liczby to taka wartość nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje tę liczbę. Zero razy zero daje zero, więc wynik wynosi 0.

Jest to jedyne rozwiązanie, bo żadna inna liczba pomnożona przez siebie nie da zera. Wynika to z własności zera: iloczyn jest równy zeru tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.

Liczby równe własnemu pierwiastkowi

• √0 = 0
• √1 = 1

Poza tymi dwoma przypadkami pierwiastek zawsze różni się od liczby wyjściowej. Dla liczb większych od jedynki jest mniejszy, a dla ułamków między zerem a jedynką większy — przy ułamkach relacja się odwraca.

Zero w działaniach

• Dodawanie — nie zmienia liczby: a + 0 = a
• Mnożenie — zawsze daje zero: a · 0 = 0
• Potęgowanie — 0 do dowolnej potęgi dodatniej daje 0
• Dzielenie przez zero — niewykonalne

Ostatni punkt bywa mylony z dzieleniem zera przez liczbę. Zero podzielone przez pięć daje zero, ale pięć podzielone przez zero nie ma wyniku — kolejność ma tu znaczenie rozstrzygające.

Dlaczego nie dzieli się przez zero

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Pytanie, ile wynosi pięć podzielone przez zero, znaczy: jaką liczbę pomnożoną przez zero da pięć.

Taka liczba nie istnieje, bo każdy iloczyn z zerem daje zero. Dlatego działanie to uznaje się za niewykonalne, a nie za dające nieskończoność — to rozróżnienie bywa źródłem nieporozumień.

Zero jako liczba

Zero jest liczbą całkowitą, parzystą i niedodatnią ani nieujemną — jest po prostu neutralne. Nie należy do liczb naturalnych w części ujęć, choć w polskiej szkole zwykle się je do nich zalicza.

Rozbieżność ta wynika z przyjętej definicji, a nie z właściwości samej liczby. W zadaniach warto sprawdzić, jaką konwencję przyjmuje podręcznik, bo od tego zależy poprawna odpowiedź na pytanie o liczby naturalne.

Historia zera

Pojęcie zera jako liczby, a nie tylko braku, upowszechniło się w Indiach i stamtąd trafiło do Europy przez matematykę arabską. Wcześniejsze systemy, jak rzymski, nie miały dla niego znaku.

Brak zera uniemożliwiał zapis pozycyjny, bo nie dało się odróżnić liczby 105 od 15. Wprowadzenie tego znaku było więc warunkiem powstania systemu, którego używamy do dziś.

Pierwiastek z liczby ujemnej

W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje. Żadna liczba pomnożona przez siebie nie daje wyniku ujemnego, bo iloczyn dwóch liczb o tym samym znaku jest dodatni.

Zero stanowi więc granicę dziedziny tego działania — pierwiastkować można liczby od zera w górę. Przy pierwiastkach stopnia nieparzystego ograniczenie to nie obowiązuje, bo sześcian liczby ujemnej pozostaje ujemny.

Zero w funkcjach

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Na wykresie odpowiada mu punkt przecięcia z osią poziomą.

Wyznaczanie miejsc zerowych sprowadza się do rozwiązania równania, w którym wzór funkcji przyrównuje się do zera. To jedno z najczęstszych poleceń w zadaniach o funkcjach, a zero pełni w nim rolę punktu odniesienia.