Przekrój osiowy walca — wymiary i pole

Przekrój osiowy walca to figura powstała z przecięcia bryły płaszczyzną przechodzącą przez oś. Zawsze jest prostokątem o wymiarach: średnica podstawy razy wysokość.

Wymiary przekroju

• Szerokość — 2r, czyli średnica podstawy
• Wysokość — H, czyli wysokość walca
• Pole przekroju — P = 2r · H
• Obwód przekroju — Ob = 4r + 2H

Najczęstszy błąd polega na przyjęciu promienia zamiast średnicy. Przekrój przechodzi przez całą bryłę, więc jego szerokość to dwa promienie, a nie jeden.

Walec o przekroju kwadratowym

Gdy przekrój osiowy jest kwadratem, zachodzi zależność 2r = H. Wysokość walca równa się wtedy średnicy podstawy, a nie promieniowi.

Takie zadania pojawiają się często, bo pozwalają wyrazić wszystkie wielkości przez jedną zmienną. Po podstawieniu H = 2r wzór na objętość przyjmuje postać V = 2πr³, a na pole całkowite P = 6πr².

Podstawowe wzory walca

• Objętość — V = πr²H
• Pole podstawy — πr²
• Pole boczne — 2πrH
• Pole całkowite — 2πr² + 2πrH

Pole boczne łatwo zrozumieć przez rozwinięcie: powierzchnia boczna walca po rozcięciu daje prostokąt o szerokości równej obwodowi podstawy i wysokości równej wysokości bryły.

Inne przekroje

Przecięcie płaszczyzną równoległą do podstawy daje koło o promieniu identycznym jak podstawa. Przecięcie ukośne daje elipsę.

Warto rozróżniać te przypadki, bo polecenia bywają formułowane ogólnie. Określenie przekrój osiowy zawsze oznacza cięcie przez oś bryły, więc odpowiedzią jest prostokąt — samo słowo przekrój bez doprecyzowania pozostawia natomiast wątpliwość, którą warto rozstrzygnąć z treści zadania.

Przekroje innych brył

• Stożek — przekrój osiowy to trójkąt równoramienny
• Kula — każdy przekrój przez środek to koło wielkie
• Sześcian — przekrój może być trójkątem, prostokątem lub sześciokątem

Przekroje sześcianu bywają zaskakujące: odpowiednio poprowadzona płaszczyzna daje regularny sześciokąt, mimo że bryła ma wyłącznie ściany kwadratowe. To dobre zadanie na wyobraźnię przestrzenną.

Zadania z walcem

Typowe polecenia dotyczą pojemności zbiorników, rur i puszek. Warto pamiętać, że pole całkowite puszki obejmuje dwie podstawy, a rura otwarta z obu stron ma wyłącznie powierzchnię boczną.

To rozróżnienie decyduje o poprawności wyniku i wynika wprost z treści zadania, a nie ze wzoru. Warto więc przed podstawieniem zapytać samego siebie, ile podstaw faktycznie występuje w opisywanym przedmiocie.

Walec a inne bryły obrotowe

Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z boków, stożek przez obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej, a kula przez obrót półkola wokół średnicy.

Takie ujęcie tłumaczy, skąd biorą się kształty przekrojów. Skoro walec powstał z obrotu prostokąta, cięcie wracające do płaszczyzny obrotu musi ten prostokąt odtworzyć — dlatego przekrój osiowy zawsze ma właśnie tę figurę, niezależnie od proporcji bryły.