➗ Matematyka ✓ Zweryfikowane

Twierdzenie Pitagorasa — wzór i zastosowania

Szybka odpowiedź

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c². Działa wyłącznie w trójkątach prostokątnych.

To prawdopodobnie najbardziej znane twierdzenie matematyki, a zarazem takie, które ma realne zastosowania poza szkołą — od budownictwa po nawigację.

Treść twierdzenia

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a² + b² = c²

gdzie a i b to przyprostokątne, czyli boki tworzące kąt prosty, a c to przeciwprostokątna — bok leżący naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższy.

Przykład

Trójkąt ma przyprostokątne 3 cm i 4 cm. Ile wynosi przeciwprostokątna?

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, więc c = √25 = 5 cm.

Trójka 3-4-5 to najprostszy przykład trójki pitagorejskiej — zestawu liczb naturalnych spełniających twierdzenie. Kolejne to 5-12-13, 8-15-17 oraz wszystkie ich wielokrotności, jak 6-8-10.

Szukanie przyprostokątnej

Wzór działa też w drugą stronę. Znając przeciwprostokątną 13 cm i jedną przyprostokątną 5 cm:

b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, czyli b = 12 cm.

Uwaga na kolejność: od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat przyprostokątnej, nigdy odwrotnie. Odwrócenie daje wynik ujemny pod pierwiastkiem, co od razu sygnalizuje pomyłkę.

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi też zależność w drugą stronę: jeśli w trójkącie a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny. To praktyczne narzędzie sprawdzania kątów prostych bez kątomierza.

Korzystają z tego murarze i cieśle. Odmierzają 3 jednostki wzdłuż jednej ściany, 4 wzdłuż drugiej i sprawdzają, czy przekątna wynosi dokładnie 5 — jeśli tak, kąt jest prosty. Metoda nazywana bywa regułą 3-4-5 i była znana już w starożytnym Egipcie, na długo przed Pitagorasem.

Zastosowania praktyczne

Wysokość drabiny — znając jej długość i odległość od ściany, obliczamy, jak wysoko sięgnie
Przekątna ekranu — z proporcji boków wyznacza się rzeczywistą szerokość i wysokość
Odległość w linii prostej — na mapie z siatką współrzędnych
Długość krokwi w konstrukcji dachu
Sprawdzanie prostokątności pomieszczenia przez porównanie obu przekątnych

Najczęstsze błędy

Pierwszy i najpoważniejszy to stosowanie twierdzenia do trójkąta nieprostokątnego. Warunek kąta prostego jest bezwzględny — dla pozostałych trójkątów służy twierdzenie cosinusów.

Drugi to mylenie przeciwprostokątnej z przyprostokątną. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem, więc jeśli wynik wychodzi krótszy od którejś przyprostokątnej, gdzieś jest błąd.

Trzeci to zapominanie o pierwiastkowaniu — wzór daje c², a nie c. To pomyłka kosztująca punkt mimo poprawnego rozumowania.

Ile jest dowodów

Twierdzenie Pitagorasa ma prawdopodobnie najwięcej znanych dowodów ze wszystkich twierdzeń matematycznych — zebrano ich ponad trzysta. Autorem jednego z nich był James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych, który opublikował go pięć lat przed objęciem urzędu.

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c².

Jak obliczyć przyprostokątną?

Odejmując od kwadratu przeciwprostokątnej kwadrat znanej przyprostokątnej, a następnie pierwiastkując wynik.

Co to są trójki pitagorejskie?

Zestawy liczb naturalnych spełniających twierdzenie, na przykład 3-4-5, 5-12-13 i 8-15-17 oraz ich wielokrotności.

Do czego służy twierdzenie odwrotne?

Do sprawdzania, czy kąt jest prosty. Murarze odmierzają 3 i 4 jednostki i kontrolują, czy przekątna wynosi 5.

Czy twierdzenie działa w każdym trójkącie?

Nie, wyłącznie w prostokątnym. Dla pozostałych stosuje się twierdzenie cosinusów.