Delta i wzory na pierwiastki równania
Deltę równania kwadratowego liczymy ze wzoru Δ = b² − 4ac. Gdy delta jest dodatnia, równanie ma dwa rozwiązania, gdy równa zero — jedno, a gdy ujemna — nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Delta to podstawowe narzędzie przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. Poniżej wzory, interpretacja wyniku oraz wyjaśnienie, skąd bierze się cała metoda.
Postać ogólna i wzór na deltę
Równanie kwadratowe zapisujemy jako ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.
Δ = b² − 4ac
Litera delta pochodzi z alfabetu greckiego, a wyrażenie nazywa się też wyróżnikiem — bo to ono rozstrzyga, ile rozwiązań ma równanie.
Trzy przypadki
- Δ > 0 — dwa różne rozwiązania: x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a
- Δ = 0 — jedno rozwiązanie (podwójne): x = −b / 2a
- Δ < 0 — brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
Ostatni przypadek ma prostą interpretację geometryczną: parabola nie przecina osi X, lecz leży w całości nad nią albo pod nią.
Przykład
Rozwiążmy x² − 5x + 6 = 0. Odczytujemy a = 1, b = −5, c = 6.
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
√Δ = 1, więc x₁ = (5 − 1) / 2 = 2 oraz x₂ = (5 + 1) / 2 = 3.
Sprawdzenie: 2 · 3 = 6 (to c/a), a 2 + 3 = 5 (to −b/a). Zgadza się.
Wzory Viète’a — szybka kontrola
Dla równania z dodatnią deltą zachodzą zależności:
- x₁ + x₂ = −b / a
- x₁ · x₂ = c / a
To najszybszy sposób sprawdzenia wyniku bez powtarzania całych obliczeń. Przy prostych równaniach pozwala nawet odgadnąć pierwiastki: dla x² − 7x + 12 = 0 szukamy dwóch liczb o sumie 7 i iloczynie 12 — to 3 i 4.
Skąd bierze się wzór na deltę
Powstaje przez uzupełnienie do kwadratu. Równanie ax² + bx + c = 0 przekształca się tak, by lewa strona stała się kwadratem dwumianu. W trakcie tych przekształceń pod pierwiastkiem pojawia się właśnie wyrażenie b² − 4ac.
Warunek Δ ≥ 0 wynika bezpośrednio z tego, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. To nie umowna reguła, lecz konsekwencja definicji pierwiastka.
Kiedy delta nie jest potrzebna
Przy równaniach niezupełnych szybciej działają inne metody:
- ax² + bx = 0 — wyłączamy x przed nawias: x(ax + b) = 0, skąd x = 0 lub x = −b/a
- ax² + c = 0 — przenosimy c i pierwiastkujemy
- Równanie z widocznym wzorem skróconego mnożenia — na przykład x² − 9 = 0 rozkładamy jako (x−3)(x+3) = 0
Delta zawsze zadziała, ale w tych przypadkach jest okrężną drogą.
Delta a wykres funkcji
Wartość delty przekłada się bezpośrednio na położenie paraboli względem osi X. Przy delcie dodatniej wykres przecina oś w dwóch punktach, przy zerowej dotyka jej w jednym, a przy ujemnej w ogóle jej nie sięga.
Znak współczynnika a decyduje z kolei o kierunku ramion: dodatnie a oznacza ramiona skierowane w górę, ujemne w dół. Zestawienie obu informacji pozwala naszkicować wykres bez obliczania pojedynczych punktów — to typowe zadanie maturalne.
Najczęstsze błędy
Pierwszy to pomyłka znaku przy b. Gdy b jest ujemne, b² i tak wychodzi dodatnie — (−5)² = 25, nie −25. Ten błąd zmienia wynik całkowicie.
Drugi to zapominanie o dzieleniu przez 2a, a nie przez samo 2. Przy a = 1 różnicy nie widać, dlatego pomyłka ujawnia się dopiero przy innych współczynnikach.