Rodzaje liczb — zbiory i ich oznaczenia
Podstawowe zbiory liczbowe to naturalne (N), całkowite (C lub Z), wymierne (W lub Q), niewymierne oraz rzeczywiste (R). Każdy kolejny zawiera w sobie poprzedni.
Zbiory liczbowe tworzą uporządkowany system, w którym każdy kolejny rozszerza poprzedni. Poniżej oznaczenia, przykłady i wyjaśnienie, dlaczego kolejne zbiory w ogóle powstały.
Zbiory i ich oznaczenia
- Liczby naturalne (N) — 0, 1, 2, 3, … używane do liczenia. W polskiej szkole zero zwykle zalicza się do naturalnych.
- Liczby całkowite (C lub Z) — naturalne wraz z ujemnymi: … −2, −1, 0, 1, 2 …
- Liczby wymierne (W lub Q) — dające się zapisać jako ułamek p/q, gdzie q ≠ 0. Należą tu ułamki, liczby całkowite i rozwinięcia okresowe.
- Liczby niewymierne — których nie da się zapisać jako ułamek: √2, π, e
- Liczby rzeczywiste (R) — wszystkie wymierne i niewymierne razem
Zależność między zbiorami
N ⊂ C ⊂ W ⊂ R
Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita wymierna, a każda wymierna rzeczywista. Odwrotnie już nie: liczba −3 jest całkowita, ale nie naturalna.
Liczby niewymierne stanowią osobną część zbioru rzeczywistych — nie zawierają się w wymiernych, lecz razem z nimi tworzą całość.
Po co kolejne zbiory
Każde rozszerzenie odpowiada na konkretny problem, którego wcześniejsze liczby nie rozwiązywały:
- Całkowite — bo 3 − 5 nie ma wyniku wśród naturalnych
- Wymierne — bo 3 : 2 nie ma wyniku wśród całkowitych
- Niewymierne — bo √2 nie da się zapisać jako ułamek, a jest długością przekątnej kwadratu o boku 1
- Zespolone — bo √(−1) nie istnieje wśród rzeczywistych; ten zbiór poznaje się dopiero na studiach
Jak rozpoznać liczbę niewymierną
Decyduje rozwinięcie dziesiętne. Liczba wymierna ma rozwinięcie skończone (0,25) albo nieskończone okresowe (0,333…). Niewymierna ma rozwinięcie nieskończone i nieokresowe — cyfry nigdy nie zaczynają się powtarzać w cyklu.
Uwaga na pierwiastki: √4 = 2 jest liczbą wymierną, mimo zapisu z pierwiastkiem. Niewymierne są tylko te pierwiastki, które nie dają wyniku wymiernego — √2, √3, √5, ale już nie √9 czy √16.
Dlaczego √2 jest niewymierny
Dowód znany był już starożytnym Grekom i opiera się na sprzeczności. Zakładamy, że √2 = p/q, gdzie ułamek jest nieskracalny. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy 2q² = p², co oznacza, że p musi być parzyste. Podstawiając p = 2k, dochodzimy do wniosku, że q również jest parzyste — a to przeczy założeniu o nieskracalności.
Odkrycie to było dla pitagorejczyków wstrząsem, bo podważało przekonanie, że wszystko da się wyrazić stosunkiem liczb całkowitych.
Częste pytania klasyfikacyjne
- Czy 0 jest naturalne? W polskiej szkole tak; w części opracowań zagranicznych nie
- Czy 0,5 jest wymierna? Tak, to 1/2
- Czy −7 jest naturalna? Nie, tylko całkowita
- Czy π jest rzeczywista? Tak — jest niewymierna, a niewymierne należą do rzeczywistych
- Czy 2/4 jest wymierna? Tak, każdy ułamek liczb całkowitych jest wymierny