Piramida trygonalna — czworościan

Piramida trygonalna to inaczej ostrosłup o podstawie trójkątnej. Ma cztery ściany, sześć krawędzi i cztery wierzchołki.

Podstawowe cechy

• Ściany — 4, wszystkie trójkątne
• Krawędzie — 6
• Wierzchołki — 4
• Podstawa — trójkąt

To jedyna bryła, w której każda ściana może pełnić rolę podstawy. Wynika to z tego, że wszystkie cztery ściany są trójkątami, więc bryła wygląda tak samo niezależnie od ustawienia.

Czworościan foremny

Szczególnym przypadkiem jest czworościan foremny, w którym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Należy do pięciu brył platońskich.

Objętość takiej bryły o krawędzi a wynosi a³ pierwiastek z dwóch podzielone przez dwanaście, a pole powierzchni a² pierwiastek z trzech. Występowanie pierwiastków wynika z wysokości trójkąta równobocznego, która nigdy nie jest liczbą wymierną przy wymiernym boku.

Wzory ogólne

• Objętość — V = (P_p · H) / 3
• Pole całkowite — podstawa plus wszystkie ściany boczne
• Wysokość — odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy

Dzielenie przez trzy we wzorze na objętość obowiązuje dla wszystkich ostrosłupów. Ostrosłup ma dokładnie trzecią część objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Czworościan a inne bryły

Czworościan jest najprostszą bryłą przestrzenną — mniejszej liczby ścian niż cztery nie da się zbudować. Trzy płaszczyzny nie zamykają jeszcze przestrzeni.

Z tego powodu każdą inną bryłę wypukłą można podzielić na czworościany, podobnie jak każdy wielokąt dzieli się na trójkąty. Czworościan pełni w przestrzeni tę samą rolę, co trójkąt na płaszczyźnie — jest podstawowym elementem, z którego buduje się bardziej złożone kształty.

Bryły platońskie

• Czworościan — 4 ściany trójkątne
• Sześcian — 6 ścian kwadratowych
• Ośmiościan — 8 ścian trójkątnych
• Dwunastościan — 12 ścian pięciokątnych
• Dwudziestościan — 20 ścian trójkątnych

Istnieje dokładnie pięć takich brył i nie może być ich więcej. Dowiódł tego już Euklides — kąty przy wierzchołku muszą sumować się do mniej niż 360 stopni, co ogranicza liczbę możliwych układów.

Wzór Eulera

Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi zależność: liczba wierzchołków minus liczba krawędzi plus liczba ścian równa się dwa. Dla czworościanu daje to 4 − 6 + 4, czyli 2.

Wzór ten sprawdza się dla wszystkich brył wypukłych, niezależnie od kształtu. Można go użyć jako szybkiej kontroli poprawności — jeśli wynik nie wynosi dwa, w zliczaniu elementów popełniono błąd.

Czworościan w praktyce

Kształt ten wykorzystuje się w konstrukcjach, bo jest wyjątkowo sztywny. Trójkątne ściany nie odkształcają się bez zmiany długości krawędzi, w odróżnieniu od czworokątów, które łatwo skosić.

Na tej samej zasadzie opierają się kratownice mostów i dachów, budowane z trójkątów. Sztywność wynika z geometrii, a nie z wytrzymałości materiału — konstrukcja z prętów połączonych przegubowo utrzyma kształt tylko wtedy, gdy tworzy trójkąty.