Pierwiastek z 72 — ile wynosi
Pierwiastek z 72 wynosi 6√2, czyli w przybliżeniu 8,49. Da się go uprościć, bo 72 to iloczyn 36 i 2.
Pierwiastek z 72 wynosi 6√2, czyli w przybliżeniu 8,49. Da się go uprościć, bo 72 zawiera czynnik będący kwadratem.
Jak uprościć
- Rozkładamy 72 na czynniki: 36 razy 2
- Liczba 36 jest kwadratem, więc wyłączamy z niej 6
- Otrzymujemy 6√2
Kluczowe jest znalezienie największego kwadratu mieszczącego się w liczbie. Rozkład na 4 razy 18 też prowadzi do celu, ale wymaga dodatkowego kroku, bo w osiemnastce nadal kryje się dziewiątka.
Sprawdzenie wyniku
Podniesienie 6√2 do kwadratu daje 36 razy 2, czyli 72. Zgadza się, więc uproszczenie wykonano poprawnie.
Ta kontrola działa zawsze i zajmuje chwilę. Podnoszenie wyniku do kwadratu to najprostszy sposób sprawdzenia każdego uproszczenia pierwiastka, niezależnie od tego, jak skomplikowany był rachunek.
Rodzina z czynnikiem 2
- √8 — 2√2
- √18 — 3√2
- √32 — 4√2
- √50 — 5√2
- √72 — 6√2
Wszystkie te liczby to podwojone kwadraty. Rozpoznanie ciągu pozwala podać wynik od razu — kolejne wartości to 98, 128 i tak dalej, dające 7√2 oraz 8√2.
Działania
- √72 : √2 — √36 = 6
- √72 · √2 — √144 = 12
- √72 + √2 — 6√2 + √2 = 7√2
- √72 − √18 — 6√2 − 3√2 = 3√2
Dwa ostatnie przykłady wymagają wcześniejszego uproszczenia. Dopiero wtedy pierwiastki stają się wyrazami podobnymi i można je dodać albo odjąć jak zwykłe składniki.
Metoda rozkładu na czynniki pierwsze
Uniwersalny sposób polega na rozłożeniu liczby na czynniki pierwsze i wyłączeniu każdej pary. Dla 72 otrzymujemy trzy dwójki i dwie trójki.
Z pary dwójek wychodzi 2, z pary trójek 3, a jedna dwójka zostaje pod pierwiastkiem. Iloczyn 2 razy 3 daje 6, więc wynik to 6√2 — ta metoda działa zawsze, nawet gdy największego kwadratu nie widać od razu.
Szacowanie wartości
Liczba 72 leży między kwadratami 64 a 81, więc wynik mieści się między 8 a 9. Jest bliżej ósemki, bo 72 jest bliżej 64.
Można też skorzystać z postaci uproszczonej: √2 to około 1,41, więc sześciokrotność daje 8,46. Drobna różnica wobec dokładnej wartości 8,485 wynika z zaokrąglenia — im wcześniej zaokrąglimy, tym większy błąd końcowy.
Zastosowanie w geometrii
Wartość √72 pojawia się przy przekątnej prostokąta o bokach 6 i 6, bo suma kwadratów wynosi 72. Taki prostokąt jest w istocie kwadratem.
Przekątna kwadratu o boku a wynosi a√2, więc dla boku 6 otrzymujemy 6√2. Oba sposoby dają ten sam wynik, co potwierdza znany wzór na przekątną kwadratu.
Usuwanie niewymierności
Wyrażenie jeden podzielone przez √72 upraszczamy najpierw do 1 przez 6√2, a potem mnożymy licznik i mianownik przez √2. Otrzymujemy √2 podzielone przez 12.
Wynik liczbowy to około 0,118. Uproszczenie pierwiastka przed przekształceniem skraca rachunek, bo pracujemy wtedy na mniejszych liczbach niż przy mnożeniu przez √72.