Pierwiastek z 225 — ile wynosi

Pierwiastek z 225 wynosi 15, bo 15 razy 15 daje 225. To liczba całkowita, więc pierwiastka nie trzeba upraszczać.

Jak to sprawdzić bez kalkulatora

Liczba kończy się cyfrą 5, więc jej pierwiastek też musi kończyć się piątką. Wystarczy sprawdzić kandydatów: 5, 15 oraz 25.

Kwadrat piętnastki daje 225, a dwudziestu pięciu już 625. Zawężenie możliwości przez ostatnią cyfrę skraca poszukiwanie do kilku prób — to szybka metoda przy liczbach będących kwadratami.

Ostatnia cyfra kwadratu

• Kończy się 1 — pierwiastek na 1 albo 9
• Kończy się 4 — pierwiastek na 2 albo 8
• Kończy się 5 — pierwiastek na 5
• Kończy się 6 — pierwiastek na 4 albo 6
• Kończy się 9 — pierwiastek na 3 albo 7

Kwadrat nigdy nie kończy się cyframi 2, 3, 7 ani 8. Liczba o takiej końcówce na pewno nie jest kwadratem, więc pierwiastek z niej będzie niewymierny — to najszybszy test.

Rozkład na czynniki

Liczba 225 to iloczyn 9 i 25, czyli kwadratów trójki i piątki. Pierwiastek z iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków, więc otrzymujemy 3 razy 5.

Metoda ta działa zawsze, także przy większych liczbach. Rozkład na czynniki pierwsze pokazuje od razu, czy liczba jest kwadratem — wystarczy sprawdzić, czy każdy czynnik występuje parzystą liczbę razy.

Kwadraty liczb dwucyfrowych

• 11² = 121, 12² = 144
• 13² = 169, 14² = 196
• 15² = 225, 16² = 256
• 20² = 400, 25² = 625

Kwadraty do dwudziestu warto znać na pamięć, bo pojawiają się w zadaniach z twierdzenia Pitagorasa i przy obliczaniu pól figur.

Mnożenie liczb kończących się piątką

Kwadrat liczby zakończonej piątką można policzyć w pamięci. Mnożymy cyfrę dziesiątek przez liczbę o jeden większą, a do wyniku dopisujemy 25.

Dla 15 mamy 1 razy 2, czyli 2, i po dopisaniu otrzymujemy 225. Dla 25 wychodzi 2 razy 3, czyli 6, a więc 625. Sposób działa dla wszystkich liczb kończących się piątką, także trzycyfrowych.

Zastosowanie w geometrii

Wartość 225 pojawia się jako pole kwadratu o boku 15 oraz w twierdzeniu Pitagorasa. Trójkąt o bokach 15, 20 i 25 jest prostokątny.

To powiększony trzykrotnie trójkąt o bokach 3, 4 i 5. Każda wielokrotność tego zestawu również daje trójkąt prostokątny, więc rozpoznanie proporcji pozwala pominąć rachunki.

Szacowanie pierwiastków

Gdy liczba nie jest kwadratem, wynik szacuje się między sąsiednimi kwadratami. Pierwiastek z 200 leży między 14 a 15, bo 196 i 225 sąsiadują z tą wartością.

Bliskość 200 do 196 wskazuje, że wynik wypada tuż powyżej 14. Znajomość kwadratów pozwala oszacować dowolny pierwiastek w kilka sekund, co wystarcza do sprawdzenia wyniku z kalkulatora.

Większe kwadraty

• 30² = 900, 40² = 1600
• 50² = 2500, 100² = 10 000

Kwadraty pełnych dziesiątek liczy się przez podniesienie do kwadratu cyfry dziesiątek i dopisanie dwóch zer. Reguła wynika z tego, że sto jest kwadratem dziesięciu.