Pierwiastek kwadratowy — co to jest i jak liczyć

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

Pierwiastek kwadratowy z danej liczby to taka liczba, która podniesiona do kwadratu (czyli pomnożona sama przez siebie) daje tę liczbę. Pierwiastkowanie jest więc działaniem odwrotnym do podnoszenia do kwadratu. Zapisujemy go specjalnym znakiem √, zwanym pierwiastkiem.

Na przykład: √9 = 3, ponieważ 3 × 3 = 9. Podobnie √25 = 5, bo 5 × 5 = 25.

Jak obliczyć pierwiastek?

Aby obliczyć pierwiastek z liczby, zadajemy sobie pytanie: „jaka liczba pomnożona przez samą siebie da ten wynik?”. Szukamy więc liczby, której kwadrat jest równy liczbie pod pierwiastkiem. Na przykład dla √16 szukamy liczby, która do kwadratu daje 16 — jest to 4, bo 4 × 4 = 16.

Przykłady „ładnych” pierwiastków

• √1 = 1 (bo 1 × 1 = 1)
• √4 = 2 (bo 2 × 2 = 4)
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √100 = 10

Liczby takie jak 1, 4, 9, 16, 25, 36, 100 nazywamy kwadratami liczb, bo mają „ładne”, całkowite pierwiastki.

Pierwiastki niewymierne

Nie z każdej liczby pierwiastek jest liczbą całkowitą. Na przykład √2 ≈ 1,41, a √10 ≈ 3,16 — takie wyniki to nieskończone, nieregularne rozwinięcia dziesiętne, które nazywamy liczbami niewymiernymi. W zadaniach często zostawia się je w postaci √2, √3 albo zaokrągla do kilku miejsc po przecinku.

Ważne przypadki: zero i liczby ujemne

Warto zapamiętać dwie rzeczy. Po pierwsze, √0 = 0, bo 0 × 0 = 0. Po drugie, nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (w zbiorze liczb rzeczywistych), ponieważ żadna liczba pomnożona przez samą siebie nie da wyniku ujemnego — kwadrat liczby zawsze jest dodatni lub równy zero.

Pierwiastek a podnoszenie do kwadratu

Pierwiastkowanie i podnoszenie do kwadratu to działania odwrotne — jedno „cofa” drugie. Skoro 5 do kwadratu to 25 (5² = 25), to pierwiastek z 25 wraca do 5 (√25 = 5). Dlatego najłatwiej liczyć pierwiastki, gdy zna się kwadraty liczb od 1 do 10 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100). Wystarczy je zapamiętać, a wiele pierwiastków policzysz od razu w pamięci.

Jak czytamy znak pierwiastka?

Znak √ czytamy „pierwiastek z…”. Zapis √9 czytamy „pierwiastek z dziewięciu”. Liczbę pod pierwiastkiem nazywamy liczbą podpierwiastkową. Sam znak pierwiastka pochodzi prawdopodobnie od litery „r” (od łacińskiego radix — „korzeń”), bo pierwiastek bywa nazywany „korzeniem” liczby.

Gdzie używamy pierwiastków?

Pierwiastki przydają się także w życiu codziennym i w innych przedmiotach — np. w fizyce przy obliczaniu prędkości czy czasu, a także wszędzie tam, gdzie z pola powierzchni trzeba wyznaczyć długość boku. Im lepiej rozumiesz pierwiastkowanie, tym łatwiej pójdą Ci trudniejsze zadania w starszych klasach.

Pierwiastki kwadratowe są bardzo przydatne w geometrii. Pojawiają się m.in. w twierdzeniu Pitagorasa, gdzie z długości boków trójkąta prostokątnego obliczamy przeponę: c = √(a² + b²). Pierwiastkowanie wykorzystuje się też przy obliczaniu długości boku kwadratu o danym polu. Najlepiej przećwiczyć liczenie pierwiastków na konkretnych liczbach w kalkulatorze powyżej.