NWD i NWW — jak je obliczyć
NWD to największy wspólny dzielnik, a NWW najmniejsza wspólna wielokrotność. Oblicza się je przez rozkład liczb na czynniki pierwsze albo algorytmem Euklidesa.
NWD i NWW to dwa pojęcia, które łatwo pomylić, choć służą do zupełnie różnych zadań. Poniżej definicje, metody obliczania i wskazówka, kiedy którego użyć.
Definicje
- NWD — największa liczba dzieląca obie liczby bez reszty
- NWW — najmniejsza liczba dzieląca się przez obie bez reszty
Dla 12 i 18: dzielniki wspólne to 1, 2, 3, 6, więc NWD = 6. Wspólne wielokrotności to 36, 72, 108, więc NWW = 36.
Zapamiętanie ułatwia obserwacja: NWD jest zawsze mniejsze lub równe mniejszej liczbie, a NWW większe lub równe większej. Jeśli wynik wypada poza tym zakresem, gdzieś jest błąd.
Metoda rozkładu na czynniki pierwsze
Rozkładamy obie liczby, po czym:
- NWD — mnożymy czynniki wspólne, w najniższej potędze
- NWW — mnożymy wszystkie czynniki, w najwyższej potędze
Przykład dla 60 i 72:
60 = 2² · 3 · 5 • 72 = 2³ · 3²
NWD = 2² · 3 = 12 (wspólne: dwójka i trójka, w niższych potęgach)
NWW = 2³ · 3² · 5 = 360 (wszystkie, w wyższych potęgach)
Algorytm Euklidesa
Szybsza metoda dla dużych liczb, opisana ponad dwa tysiące lat temu i wciąż stosowana w informatyce. Polega na dzieleniu z resztą, dopóki reszta nie wyniesie zera — ostatnia niezerowa reszta to NWD.
Dla 252 i 105:
- 252 : 105 = 2, reszta 42
- 105 : 42 = 2, reszta 21
- 42 : 21 = 2, reszta 0
Ostatnia niezerowa reszta to NWD = 21.
Zależność między NWD a NWW
NWD(a, b) · NWW(a, b) = a · b
Znając jedno, można natychmiast obliczyć drugie. Dla 60 i 72: 12 · 360 = 4320, i rzeczywiście 60 · 72 = 4320.
W praktyce liczy się więc NWD algorytmem Euklidesa, a NWW wyprowadza z tego wzoru — to znacznie szybsze niż rozkładanie dużych liczb na czynniki.
Kiedy którego używać
NWD przydaje się przy dzieleniu na równe części: skracanie ułamków, podział 24 cukierków i 36 ciastek na jednakowe paczki (odpowiedź: 12 paczek).
NWW przy zdarzeniach powtarzających się cyklicznie: sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika, spotkanie autobusów odjeżdżających co 12 i co 18 minut (odpowiedź: co 36 minut).
Prosty test: jeśli pytanie brzmi „na ile grup”, to NWD. Jeśli „kiedy znów razem” — NWW.
Skracanie ułamków przez NWD
Najczęstsze szkolne zastosowanie NWD. Aby skrócić ułamek do postaci nieskracalnej za jednym razem, dzielimy licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik.
Ułamek 84/126: NWD tych liczb wynosi 42, więc od razu otrzymujemy 2/3. Skracanie po kolei przez 2, potem przez 3 i przez 7 prowadzi do tego samego wyniku, ale wymaga trzech kroków i łatwiej przy nim o pomyłkę. Przy większych liczbach różnica staje się odczuwalna, dlatego warto najpierw wyznaczyć NWD algorytmem Euklidesa.
Liczby względnie pierwsze
Gdy NWD dwóch liczb wynosi 1, nazywamy je względnie pierwszymi. Nie muszą same być pierwsze — na przykład 8 i 15 nie mają wspólnych dzielników poza jedynką, choć obie są złożone.
Dla takich liczb NWW jest po prostu ich iloczynem, co wynika bezpośrednio ze wzoru wiążącego oba pojęcia.