Liczby pierwsze — co to jest i jak je rozpoznać

Co to jest liczba pierwsza?

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: liczbę 1 oraz samą siebie. Inaczej mówiąc, dzieli się bez reszty tylko przez 1 i przez siebie. Na przykład 7 jest pierwsze, bo dzieli się tylko przez 1 i 7.

Lista liczb pierwszych do 50

Oto wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Ważne wyjątki: 0, 1 i 2

• Liczby 0 i 1 nie są pierwsze. Liczba 1 ma tylko jeden dzielnik (samą siebie), a liczba pierwsza musi mieć dwa.
• Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda inna liczba parzysta dzieli się przez 2, więc ma więcej dzielników i pierwsza nie jest.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Wystarczy sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez jakąkolwiek liczbę inną niż 1 i ona sama. Jeśli znajdziesz taki dzielnik — liczba nie jest pierwsza. Przykład: czy 21 jest pierwsze? 21 dzieli się przez 3 (21 = 3 × 7), więc nie. A 23? Nie dzieli się przez żadną mniejszą liczbę poza 1 — więc jest pierwsze. W praktyce wystarczy sprawdzać dzielniki aż do pierwiastka z danej liczby.

Liczby pierwsze a liczby złożone

Przeciwieństwem liczby pierwszej jest liczba złożona — czyli liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki (np. 4, 6, 8, 9, 10). Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze, np. 12 = 2 × 2 × 3. Liczby pierwsze są więc swego rodzaju „cegiełkami”, z których zbudowane są wszystkie pozostałe liczby naturalne.

Sito Eratostenesa

Aby szybko znaleźć liczby pierwsze, można użyć sita Eratostenesa. Wypisujemy liczby po kolei i wykreślamy wielokrotności kolejnych liczb (najpierw wielokrotności 2, potem 3, potem 5…). To, co zostanie niewykreślone, to właśnie liczby pierwsze. To prosta i bardzo stara metoda, znana już w starożytności.

Przykłady rozkładu na czynniki pierwsze

Każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład: 12 = 2 × 2 × 3, 30 = 2 × 3 × 5, a 100 = 2 × 2 × 5 × 5. Taki zapis nazywamy rozkładem na czynniki pierwsze i często przydaje się przy skracaniu ułamków oraz szukaniu wspólnego mianownika.

Ciekawostka: nieskończenie wiele liczb pierwszych

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele — udowodnił to już w starożytności grecki matematyk Euklides. Im większe liczby badamy, tym rzadziej trafiają się wśród nich liczby pierwsze, ale nigdy się nie kończą. Największe znane dziś liczby pierwsze mają miliony cyfr i są wyszukiwane przy pomocy komputerów.

Gdzie wykorzystuje się liczby pierwsze?

Liczby pierwsze to nie tylko ciekawostka — mają ważne zastosowania. Wykorzystuje się je przy rozkładzie liczb na czynniki, w obliczaniu największego wspólnego dzielnika, a także w kryptografii, czyli przy szyfrowaniu danych w internecie. Sprawdź samodzielnie, czy wybrana liczba jest pierwsza, korzystając z narzędzia powyżej.