Procent składany — wzór i przykłady

Procent składany różni się od prostego jednym szczegółem, który przy dłuższym czasie zmienia wynik dramatycznie. Poniżej wzór, porównanie obu metod i wyjaśnienie, skąd bierze się różnica.

Wzór

K = K₀ · (1 + p)ⁿ

• K — kapitał końcowy
• K₀ — kapitał początkowy
• p — oprocentowanie za jeden okres, zapisane jako ułamek (5% to 0,05)
• n — liczba okresów

Różnica wobec procentu prostego

Przy procencie prostym odsetki nalicza się zawsze od kwoty początkowej. Przy składanym — od kwoty powiększonej o wcześniejsze odsetki, więc podstawa rośnie z każdym okresem.

Porównajmy 1000 zł przy 5% rocznie:

• Po 10 latach: prosty 1500 zł, składany 1629 zł
• Po 30 latach: prosty 2500 zł, składany 4322 zł
• Po 50 latach: prosty 3500 zł, składany 11 467 zł

Po dziesięciu latach różnica jest niewielka, po pięćdziesięciu — ponad trzykrotna. To dlatego, że procent składany rośnie wykładniczo, a prosty liniowo.

Przykład obliczeń

Wpłacamy 5000 zł na 4% rocznie na 3 lata.

K = 5000 · (1 + 0,04)³ = 5000 · 1,124864 = 5624,32 zł

Odsetki wyniosły 624,32 zł. Przy procencie prostym byłoby to 600 zł — różnica 24,32 zł to właśnie odsetki naliczone od odsetek.

Kapitalizacja częstsza niż roczna

Gdy odsetki dopisywane są częściej, wzór wymaga korekty:

K = K₀ · (1 + p/m)^(n·m), gdzie m to liczba kapitalizacji w roku.

Przy 12% rocznie i kapitalizacji miesięcznej liczymy 1% co miesiąc przez dwanaście okresów, co daje efektywnie około 12,68% zamiast 12%. Im częstsza kapitalizacja, tym wyższy wynik — ale wzrost szybko się wypłaszcza.

Reguła 72 — szacowanie w pamięci

Praktyczna metoda: dzieląc 72 przez oprocentowanie, otrzymujemy przybliżoną liczbę lat potrzebnych do podwojenia kapitału.

Przy 6% rocznie: 72 / 6 = 12 lat. Dokładny wynik to 11,9 roku — przybliżenie jest bardzo dobre dla stóp od kilku do kilkunastu procent.

Reguła działa w obie strony: żeby podwoić kapitał w 8 lat, potrzeba około 9% rocznie.

Dlaczego czas jest ważniejszy od kwoty

Przy procencie składanym decydująca okazuje się długość okresu, a nie wysokość wpłaty. Osoba odkładająca 200 zł miesięcznie przez trzydzieści lat przy 5% rocznie zgromadzi więcej niż ta, która odkłada 400 zł przez lat piętnaście — mimo że wpłaci łącznie tę samą kwotę.

Powód jest taki, że najwcześniejsze wpłaty pracują najdłużej i to one generują większość odsetek. Wpłata z pierwszego roku podwaja się kilkukrotnie, a ta z ostatniego praktycznie nie zdąży urosnąć. To główny argument za wczesnym rozpoczęciem oszczędzania, nawet drobnymi kwotami.

Nie tylko oszczędności

Ten sam mechanizm działa przy zadłużeniu, i tam bywa dotkliwy. Odsetki od niespłaconego salda karty kredytowej naliczają się od kwoty rosnącej z każdym okresem, dlatego zadłużenie potrafi rosnąć szybciej, niż sugerowałoby samo oprocentowanie.

Procent składany opisuje też inflację. Przy 5% rocznie ceny nie rosną o 50% w dekadę, lecz o około 63%, bo każdy rok liczy się od poziomu podniesionego w poprzednim.