Pole trójkąta — wzory i przykłady obliczeń

Pole trójkąta liczy się na kilka sposobów, zależnie od tego, jakie dane mamy w zadaniu. Poniżej wszystkie stosowane w szkole wraz z podpowiedzią, który wybrać.

Wzór podstawowy

P = a · h / 2

gdzie a to długość dowolnego boku, a h wysokość opuszczona na ten właśnie bok. To zastrzeżenie jest istotne — podstawa i wysokość muszą do siebie pasować.

Trójkąt ma trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola. Wybieramy tę, dla której mamy dane.

Skąd bierze się dzielenie przez dwa

Każdy trójkąt to połowa równoległoboku. Jeśli do trójkąta dorysować jego kopię obróconą o 180 stopni, powstanie równoległobok o tej samej podstawie i wysokości, którego pole wynosi a · h. Trójkąt zajmuje dokładnie połowę tej figury.

Ta sama logika działa przy prostokącie: trójkąt prostokątny to połowa prostokąta o bokach równych przyprostokątnym.

Pozostałe wzory

• Z dwóch boków i kąta: P = (a · b · sin γ) / 2, gdzie γ to kąt między bokami a i b
• Wzór Herona: P = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), gdzie p = (a+b+c)/2 to połowa obwodu
• Trójkąt równoboczny: P = a²√3 / 4
• Trójkąt prostokątny: P = (przyprostokątna · przyprostokątna) / 2

Który wzór wybrać

Decyduje zestaw danych w zadaniu:

• Podstawa i wysokość → wzór podstawowy
• Trzy boki, brak wysokości → wzór Herona
• Dwa boki i kąt między nimi → wzór z sinusem
• Podany tylko bok trójkąta równobocznego → wzór z pierwiastkiem z trzech

Przykłady

Podstawowy. Podstawa 10 cm, wysokość 6 cm. P = 10 · 6 / 2 = 30 cm².

Heron. Boki 5, 6 i 7 cm. p = (5+6+7)/2 = 9. P = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 ≈ 14,7 cm².

Równoboczny. Bok 4 cm. P = 16 · 1,732 / 4 ≈ 6,93 cm².

Najczęstsze błędy

Pierwszy to użycie wysokości opuszczonej na inny bok niż przyjęta podstawa. W trójkącie rozwartokątnym bywa to mylące, bo wysokość może wypadać poza figurą — trzeba wtedy przedłużyć podstawę.

Drugi to mylenie wysokości z bokiem w trójkącie równobocznym. Wysokość takiego trójkąta wynosi a√3 / 2, a nie a, więc podstawienie samego boku daje wynik zawyżony o kilkanaście procent.

Trzeci to pominięcie połowy obwodu we wzorze Herona — litera p oznacza tam (a+b+c)/2, nie cały obwód.

Trójkąt o największym polu przy danym obwodzie

To pytanie pojawia się w zadaniach na dowodzenie i ma zaskakująco elegancką odpowiedź: przy ustalonym obwodzie największe pole ma trójkąt równoboczny. Im bardziej figura odbiega od równobocznej, tym mniejsze pole przy tej samej długości boków razem wziętych.

Wynika to ze wzoru Herona — iloczyn (p−a)(p−b)(p−c) osiąga maksimum, gdy wszystkie trzy czynniki są równe, czyli gdy a = b = c. Ta sama prawidłowość dotyczy innych figur: spośród wszystkich czworokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat, a spośród wszystkich figur w ogóle — koło.

Gdzie się przydaje

Podział działki o nieregularnym kształcie na trójkąty jest podstawową metodą pomiaru powierzchni w geodezji. Każdy wielokąt da się rozłożyć na trójkąty, a suma ich pól daje pole całej figury — dlatego to właśnie ten wzór stoi za obliczeniami powierzchni gruntów, dachów i nietypowych pomieszczeń.