➗ Matematyka ✓ Zweryfikowane

Pole trapezu — wzór i przykłady obliczeń

Szybka odpowiedź

Pole trapezu obliczamy ze wzoru P = (a + b) · h / 2, gdzie a i b to długości podstaw, a h wysokość. Sumę podstaw mnożymy przez wysokość i dzielimy przez dwa.

Trapez to czworokąt mający co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na jego pole jest prosty, ale kryje pewną logikę, której znajomość ułatwia zapamiętanie i chroni przed typowymi błędami.

Wzór

P = (a + b) · h / 2

a, b — długości podstaw, czyli boków równoległych
h — wysokość, odległość między podstawami

Słownie: sumę podstaw mnożymy przez wysokość i dzielimy przez dwa.

Skąd bierze się ten wzór

Wyrażenie (a + b) / 2 to średnia arytmetyczna podstaw. Wzór można więc czytać jako: pole trapezu równa się średniej długości podstaw pomnożonej przez wysokość.

To wyjaśnia jego związek z polem prostokąta. Gdyby trapez „wyrównać” tak, by obie podstawy miały długość równą ich średniej, powstałby prostokąt o tym samym polu. Stąd też widać, że przy a = b wzór upraszcza się do P = a · h, czyli do wzoru na pole równoległoboku — bo trapez o równych podstawach nim właśnie jest.

Przykład obliczeń

Trapez ma podstawy 8 cm i 12 cm oraz wysokość 5 cm.

P = (8 + 12) · 5 / 2 = 20 · 5 / 2 = 100 / 2 = 50 cm²

Zadanie odwrotne

Znając pole, można wyznaczyć brakującą wielkość. Trapez ma pole 60 cm², podstawy 7 cm i 13 cm. Jaka jest wysokość?

60 = (7 + 13) · h / 2, czyli 60 = 20h / 2, zatem 60 = 10h, więc h = 6 cm.

Ten typ zadania pojawia się na sprawdzianach częściej niż zwykłe podstawienie, bo sprawdza umiejętność przekształcania wzoru.

Rodzaje trapezów

Trapez prostokątny — ma dwa kąty proste, jedno ramię jest zarazem wysokością
Trapez równoramienny — ramiona równej długości, kąty przy każdej podstawie równe
Trapez różnoramienny — bez dodatkowych własności

Wzór na pole jest ten sam dla wszystkich. Rodzaj trapezu wpływa natomiast na sposób wyznaczenia wysokości, gdy nie podano jej wprost — w trapezie prostokątnym jest nią po prostu ramię prostopadłe do podstaw.

Najczęstsze błędy

Pierwszy to mylenie ramienia z wysokością. W trapezie pochyłym ramię jest dłuższe od wysokości i podstawienie go do wzoru daje zawyżony wynik. Wysokość zawsze mierzy się prostopadle do podstaw.

Drugi to pominięcie dzielenia przez dwa, dające wynik dwukrotnie za duży. Pomaga świadomość, skąd bierze się ta dwójka — z uśredniania podstaw, a nie z arbitralnej reguły.

Trzeci to branie za podstawy dwóch dowolnych boków. Podstawy to wyłącznie boki równoległe; pozostałe dwa to ramiona i nie występują we wzorze.

Gdzie się przydaje

Kształt trapezu mają przekroje wałów, skarp, rowów melioracyjnych i nasypów drogowych. Obliczenie objętości takiego nasypu sprowadza się do pomnożenia pola przekroju przez długość — dlatego wzór na pole trapezu należy do podstawowych narzędzi w robotach ziemnych.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole trapezu?

P = (a + b) · h / 2, gdzie a i b to podstawy, a h wysokość. Sumę podstaw mnożymy przez wysokość i dzielimy przez dwa.

Skąd bierze się dzielenie przez dwa?

Wyrażenie (a + b) / 2 to średnia podstaw. Pole trapezu to średnia długość podstaw pomnożona przez wysokość.

Czym różni się ramię od wysokości?

Ramię to bok nierównoległy, a wysokość to odległość mierzona prostopadle między podstawami. W trapezie pochyłym ramię jest dłuższe.

Jak obliczyć wysokość, znając pole?

Przekształcić wzór: h = 2P / (a + b). Przy polu 60 cm² i podstawach 7 i 13 cm wysokość wynosi 6 cm.

Czy równoległobok to trapez?

Tak, przy równych podstawach wzór upraszcza się do P = a · h, czyli do wzoru na pole równoległoboku.