Wykres funkcji — odczytywanie i własności

Wykres zamienia wzór w obraz, z którego wiele własności odczytuje się szybciej niż z obliczeń. Poniżej co i jak z niego odczytać.

Kiedy krzywa jest wykresem funkcji

Podstawowy warunek: każdej wartości x odpowiada dokładnie jedna wartość y. Sprawdza się to testem prostej pionowej — jeśli jakakolwiek pionowa linia przecina krzywą więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji.

Dlatego okrąg nie jest wykresem funkcji, a parabola o ramionach skierowanych w górę już tak.

Co odczytujemy z wykresu

• Dziedzina — rzut wykresu na oś X
• Zbiór wartości — rzut na oś Y
• Miejsca zerowe — punkty przecięcia z osią X
• Wartość dla danego x — wysokość punktu nad osią
• Punkt przecięcia z osią Y — wartość funkcji dla x równego zero

Monotoniczność

• Rosnąca — wykres wznosi się przy przesuwaniu w prawo
• Malejąca — opada
• Stała — biegnie poziomo

Uwaga na częsty błąd: monotoniczność określa się zawsze patrząc od lewej do prawej, czyli w kierunku rosnących x, niezależnie od kształtu wykresu.

Wartości największe i najmniejsze

Odczytuje się je jako najwyższy i najniższy punkt wykresu w rozpatrywanym przedziale. Funkcja może ich nie mieć wcale — prosta o niezerowym nachyleniu rośnie bez ograniczeń.

Warto rozróżnić wartość największą od miejsca, w którym jest osiągana. Pytanie „jaka jest wartość największa” wymaga odczytu z osi Y, a „dla jakiego argumentu” z osi X. To najczęstsza pomyłka w zadaniach z odczytu.

Przesunięcia wykresu

• f(x) + a — przesunięcie w górę o a
• f(x) − a — w dół
• f(x − a) — w prawo o a
• f(x + a) — w lewo

Dwie ostatnie działają odwrotnie, niż podpowiada intuicja: znak minus przesuwa w prawo. Powód jest prosty — aby funkcja przyjęła tę samą wartość co wcześniej, argument musi być teraz o a większy.

Symetria wykresu

Kształt wykresu zdradza dodatkowe własności funkcji. Wykres symetryczny względem osi Y należy do funkcji parzystej — dla przeciwnych argumentów przyjmuje ona te same wartości, jak w przypadku paraboli y = x².

Symetria względem początku układu oznacza funkcję nieparzystą, w której przeciwnym argumentom odpowiadają przeciwne wartości. Tak zachowuje się y = x³ oraz funkcja odwrotnie proporcjonalna. Większość funkcji nie ma przy tym żadnej z tych własności, więc brak symetrii jest sytuacją typową, a nie odstępstwem. Rozpoznanie parzystości bywa użyteczne, bo pozwala narysować wykres, badając tylko połowę dziedziny i odbijając wynik.

Odczyt z wykresu w zadaniach praktycznych

Wykresy opisujące zjawiska rzeczywiste czyta się tak samo, ale warto zwrócić uwagę na jednostki i skalę osi. Wykres drogi od czasu, temperatury od godziny czy sprzedaży od miesiąca podlega tym samym regułom co wykres funkcji matematycznej.

Przy takich zadaniach szczególnie łatwo o błąd wynikający z nierównomiernej skali albo osi nierozpoczynającej się od zera. Dlatego przed odczytem wartości warto sprawdzić, co dokładnie oznaczają podziałki — dopiero potem patrzeć na kształt krzywej.