Wartość bezwzględna — definicja i równania

Wartość bezwzględna wydaje się prostym pojęciem, dopóki nie pojawi się w równaniu. Poniżej definicja, własności i metody rozwiązywania.

Definicja

|a| = a dla a ≥ 0  •  |a| = −a dla a < 0

Druga część bywa myląca: zapis −a nie oznacza liczby ujemnej, lecz liczbę przeciwną. Dla a = −5 mamy −a = 5.

Najlepsza interpretacja: wartość bezwzględna to odległość od zera, a odległość nie może być ujemna.

Podstawowe własności

• |a| ≥ 0 zawsze
• |a| = |−a| — liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną
• |a · b| = |a| · |b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| — nierówność trójkąta

Uwaga: dla dodawania nie ma równości. Wartość |3 + (−5)| wynosi 2, a |3| + |−5| daje 8.

Odległość między liczbami

|a − b| to odległość między punktami a i b na osi liczbowej.

Ta interpretacja upraszcza wiele zadań. Zapis |x − 3| = 5 oznacza „liczby oddalone od 3 o 5 jednostek”, czyli x = 8 albo x = −2 — wynik da się odczytać bez przekształceń.

Równania z wartością bezwzględną

Równanie |x| = a ma:

• dwa rozwiązania (x = a oraz x = −a), gdy a > 0
• jedno rozwiązanie (x = 0), gdy a = 0
• brak rozwiązań, gdy a < 0

Ostatni przypadek warto sprawdzać od razu: równanie |x + 2| = −3 nie ma rozwiązań, bo wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna. Nie trzeba wykonywać żadnych rachunków.

Nierówności

• |x| < a oznacza −a < x < a — przedział między dwiema wartościami
• |x| > a oznacza x < −a lub x > a — dwa rozłączne przedziały

Interpretacja odległościowa działa i tutaj: pierwsza nierówność opisuje punkty bliżej zera niż a, druga dalsze niż a.

Metoda przedziałów

Przy równaniach zawierających kilka wartości bezwzględnych stosuje się rozbicie na przedziały. Najpierw wyznacza się punkty, w których wyrażenia pod modułem zerują się, a następnie rozpatruje osobno każdy z powstałych przedziałów.

W każdym przedziale znak wyrażenia pod modułem jest stały, więc wartość bezwzględną da się opuścić — zachowując wyrażenie albo zmieniając mu znak. Rozwiązania otrzymane w każdym przedziale trzeba na koniec sprawdzić, czy rzeczywiście do niego należą. Ten ostatni krok bywa pomijany, a bez niego można przyjąć wynik, który nie spełnia założeń przyjętych na początku.

Wykres funkcji z wartością bezwzględną

Wykres funkcji y = |x| składa się z dwóch półprostych tworzących literę V z wierzchołkiem w początku układu. Dla x dodatnich pokrywa się z prostą y = x, dla ujemnych z prostą y = −x.

Ogólna zasada: aby narysować wykres z wartością bezwzględną, rysujemy najpierw funkcję bez niej, a następnie odbijamy część leżącą pod osią X ponad tę oś. Cała reszta wykresu pozostaje bez zmian.