Ułamki dziesiętne — działania i zamiana

Ułamki dziesiętne to po prostu inny zapis tych samych liczb co ułamki zwykłe. Poniżej zamiana w obie strony, działania i wyjaśnienie, dlaczego niektóre ułamki dają rozwinięcia nieskończone.

Budowa

Cyfry po przecinku oznaczają kolejno części dziesiąte, setne, tysięczne i dalsze. Liczba 3,254 to trzy jedności, dwie dziesiąte, pięć setnych i cztery tysięczne.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Dzielimy licznik przez mianownik:

• 3/4 = 3 : 4 = 0,75
• 1/8 = 1 : 8 = 0,125
• 1/3 = 1 : 3 = 0,333… (rozwinięcie nieskończone okresowe)

Zamiana dziesiętnego na zwykły

Zapisujemy cyfry po przecinku jako licznik, a jako mianownik potęgę dziesiątki odpowiadającą liczbie miejsc, po czym skracamy.

0,25 = 25/100 = 1/4  •  0,6 = 6/10 = 3/5  •  0,125 = 125/1000 = 1/8

Dlaczego jedne ułamki się kończą, a inne nie

To pytanie rzadko pojawia się w podręcznikach, a odpowiedź jest prosta i użyteczna. Rozwinięcie jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik ułamka nieskracalnego zawiera wyłącznie czynniki 2 i 5.

• 1/4 — mianownik to 2·2, więc rozwinięcie skończone (0,25)
• 1/8 — mianownik to 2·2·2, skończone (0,125)
• 1/20 — mianownik to 2·2·5, skończone (0,05)
• 1/3 — pojawia się czynnik 3, więc nieskończone
• 1/7 — czynnik 7, nieskończone

Powód: nasz system jest dziesiętny, a dziesiątka rozkłada się na 2·5. Ułamek da się zapisać skończenie tylko wtedy, gdy mianownik dzieli jakąś potęgę dziesiątki.

Działania

Dodawanie i odejmowanie — pisemnie, przecinek pod przecinkiem. Brakujące miejsca uzupełniamy zerami.

Mnożenie — mnożymy tak jak liczby całkowite, ignorując przecinki, a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile miały łącznie oba czynniki. 0,3 · 0,4 = 12, a ponieważ czynniki mają razem dwa miejsca, wynik to 0,12.

Dzielenie — przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej. 4,5 : 0,5 zamieniamy na 45 : 5 = 9.

Zaokrąglanie

Zasada jest jedna: patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę. Jeśli wynosi 0–4, zaokrąglamy w dół; jeśli 5–9, w górę. Liczba 3,247 zaokrąglona do części setnych to 3,25, a do dziesiątych 3,2.

Uwaga na zaokrąglanie wieloetapowe — jest źródłem błędów. Zaokrąglając 3,449 najpierw do setnych (3,45), a potem do dziesiątych, otrzymamy 3,5, choć poprawny wynik bezpośredniego zaokrąglenia to 3,4. Dlatego zawsze zaokrągla się jednorazowo, od liczby wyjściowej.

Najczęstszy błąd przy mnożeniu

Intuicja podpowiada, że mnożenie powiększa, a dzielenie zmniejsza — przy ułamkach mniejszych od jedności jest odwrotnie. Mnożenie przez 0,5 daje połowę, a dzielenie przez 0,5 podwaja.

Warto sprawdzać wynik zdrowym rozsądkiem: jeśli mnożymy przez liczbę mniejszą od jedności, wynik musi być mniejszy od liczby wyjściowej.