Trójkąty — rodzaje, własności i wzory
Trójkąt to figura o trzech bokach i trzech kątach, których suma wynosi 180 stopni. Dzieli się według boków na równoboczny, równoramienny i różnoboczny oraz według kątów.
Trójkąt jest najprostszym wielokątem i zarazem najważniejszym — każdy inny wielokąt da się na trójkąty podzielić. Poniżej rodzaje, własności i wzory.
Podział według boków
- Równoboczny — trzy równe boki, wszystkie kąty po 60°
- Równoramienny — dwa boki równe, kąty przy podstawie równe
- Różnoboczny — wszystkie boki różnej długości
Podział według kątów
- Ostrokątny — wszystkie kąty ostre
- Prostokątny — jeden kąt prosty
- Rozwartokątny — jeden kąt rozwarty
Oba podziały są niezależne, więc trójkąt może być jednocześnie równoramienny i prostokątny.
Warunek istnienia trójkąta
Suma dwóch dowolnych boków musi być większa od trzeciego. To warunek, który trzeba sprawdzić w każdym zadaniu o konstrukcji.
Z odcinków 3, 4 i 10 nie da się zbudować trójkąta, bo 3 + 4 < 10 — krótsze boki po prostu nie sięgną do siebie. Wystarczy sprawdzić najkrótsze dwa boki względem najdłuższego.
Wzory na pole
- Podstawowy — P = ½ · a · h
- Trójkąt równoboczny — P = a²√3 / 4
- Trójkąt prostokątny — P = ½ · a · b (iloczyn przyprostokątnych)
Wzór podstawowy wynika z prostej obserwacji: trójkąt to połowa równoległoboku o tej samej podstawie i wysokości.
Punkty szczególne
- Środek ciężkości — przecięcie środkowych, dzieli je w stosunku 2:1
- Ortocentrum — przecięcie wysokości
- Środek okręgu opisanego — przecięcie symetralnych boków
- Środek okręgu wpisanego — przecięcie dwusiecznych kątów
W trójkącie równobocznym wszystkie cztery punkty pokrywają się w jednym miejscu — to jedyny trójkąt o takiej własności i dobry sposób sprawdzenia, czy konstrukcja jest poprawna.
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna. Twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny.
Cechy przystawania trójkątów
Dwa trójkąty są przystające, czyli identyczne, gdy zachodzi jeden z trzech warunków. Cecha bok-bok-bok oznacza równość wszystkich trzech par boków. Cecha bok-kąt-bok wymaga równości dwóch boków i kąta zawartego między nimi. Cecha kąt-bok-kąt to równość jednego boku i przylegających do niego kątów.
Warto zauważyć, czego na liście brakuje: sama równość trzech kątów nie wystarcza. Trójkąty o jednakowych kątach są jedynie podobne, czyli mają ten sam kształt, ale mogą różnić się wielkością. Ta różnica między przystawaniem a podobieństwem bywa źródłem błędów w dowodach geometrycznych.
Dlaczego trójkąt jest tak stabilny
Trójkąt jako jedyny wielokąt jest sztywny: znając długości trzech boków, znamy dokładnie jeden możliwy kształt. Czworokąt o zadanych bokach da się odkształcić w wiele różnych figur.
Dlatego konstrukcje inżynierskie opierają się na trójkątach — kratownice mostów, wieże i więźby dachowe. Wzmocnienie prostokątnej ramy sprowadza się do dodania przekątnej, która rozdziela ją na dwa nieodkształcalne trójkąty.