➗ Matematyka ✓ Zweryfikowane

Proporcja — jak ją rozwiązać i zastosować

Szybka odpowiedź

Proporcja to równość dwóch stosunków, zapisywana jako a : b = c : d. Rozwiązuje się ją mnożeniem na krzyż, czyli korzystając z zależności, że iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych.

Proporcja to jedno z najbardziej użytecznych narzędzi matematycznych — przydaje się przy przeliczaniu przepisów, skali map, procentów i mieszanin. Poniżej zasada działania i typowe zastosowania.

Czym jest proporcja

Proporcja to równość dwóch stosunków:

a : b = c : d albo równoważnie a/b = c/d

Wyrazy a i d to wyrazy skrajne, b i c to wyrazy środkowe.

Własność podstawowa

Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych: a · d = b · c.

To właśnie „mnożenie na krzyż”. Z tej jednej zależności wynika cała technika rozwiązywania proporcji — jeśli znamy trzy wyrazy, czwarty da się obliczyć.

Przykład

Znajdźmy x w proporcji 3 : 4 = x : 20.

Mnożymy na krzyż: 3 · 20 = 4 · x, czyli 60 = 4x, więc x = 15.

Zastosowanie praktyczne

Przepis kulinarny. Przepis na 4 porcje wymaga 300 g mąki. Ile na 6 porcji?

4 : 300 = 6 : x → 4x = 1800 → x = 450 g

Skala mapy. Na mapie 1:50 000 odcinek ma 7 cm. Jaka to odległość?

1 : 50 000 = 7 : x → x = 350 000 cm = 3,5 km

Procenty. 15% pewnej liczby to 45. Jaka to liczba?

15 : 100 = 45 : x → 15x = 4500 → x = 300

Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne

To rozróżnienie decyduje o poprawności rozwiązania i bywa źródłem poważnych błędów.

Wprost proporcjonalne — gdy jedna rośnie, druga rośnie w tym samym tempie. Więcej porcji to więcej mąki; dłuższa droga przy stałej prędkości to więcej czasu.

Odwrotnie proporcjonalne — gdy jedna rośnie, druga maleje. Więcej pracowników to krócej trwająca praca; większa prędkość to krótszy czas przejazdu.

Przy wielkościach odwrotnie proporcjonalnych nie wolno stosować zwykłej proporcji. Zamiast tego korzystamy z tego, że iloczyn obu wielkości jest stały: jeśli 4 pracowników wykona pracę w 6 dni, to 8 pracowników w 3 dni, bo 4 · 6 = 8 · 3 = 24.

Proporcja a skala i podział

Proporcje przydają się także przy dzieleniu wielkości w zadanym stosunku. Aby podzielić 240 złotych w stosunku 2 : 3, sumujemy części (2 + 3 = 5), obliczamy wartość jednej części (240 : 5 = 48), a następnie mnożymy: pierwsza osoba dostaje 96 zł, druga 144 zł.

Ten sam schemat działa przy trzech i więcej częściach, a także przy mieszaninach — zaprawa w stosunku 1 : 4 oznacza jedną część cementu na cztery części piasku, czyli cement stanowi jedną piątą całości, a nie jedną czwartą. To rozróżnienie jest częstym źródłem błędów zarówno w zadaniach, jak i na budowie.

Jak rozpoznać, z czym mamy do czynienia

Wystarczy zadać pytanie: jeśli pierwsza wielkość się podwoi, co stanie się z drugą? Jeśli też się podwoi — wielkości są wprost proporcjonalne. Jeśli spadnie o połowę — odwrotnie.

Ten test zajmuje sekundę, a chroni przed błędem, który w zadaniu tekstowym kosztuje wszystkie punkty. Warto też sprawdzać wynik zdrowym rozsądkiem: jeśli po dodaniu pracowników praca miałaby trwać dłużej, gdzieś jest pomyłka.

Najczęstsze pytania

Co to jest proporcja?

Równość dwóch stosunków, zapisywana jako a : b = c : d. Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych.

Jak rozwiązać proporcję?

Mnożąc na krzyż. Z proporcji 3 : 4 = x : 20 otrzymujemy 3 · 20 = 4x, czyli x = 15.

Czym są wielkości odwrotnie proporcjonalne?

Takie, w których wzrost jednej powoduje spadek drugiej — jak liczba pracowników i czas pracy. Ich iloczyn jest stały.

Jak rozpoznać rodzaj zależności?

Zapytać, co się stanie z drugą wielkością, gdy pierwsza się podwoi. Jeśli też wzrośnie — wprost, jeśli spadnie — odwrotnie.

Do czego przydaje się proporcja?

Do przeliczania przepisów, odległości ze skali mapy, procentów oraz proporcji składników w mieszaninach.