Prawdopodobieństwo — obliczanie i typowe błędy
Prawdopodobieństwo to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich możliwych. Przyjmuje wartości od zera do jedności, a suma prawdopodobieństw wszystkich wyników wynosi jeden.
Prawdopodobieństwo jest działem matematyki, w którym intuicja najczęściej zawodzi. Poniżej podstawy obliczeń i pułapki, w które wpadają nawet doświadczeni.
Wzór podstawowy
P(A) = liczba zdarzeń sprzyjających / liczba wszystkich zdarzeń
Warunek stosowania: wszystkie wyniki muszą być jednakowo prawdopodobne. Wzór działa dla kostki i monety, ale nie dla pytania „czy jutro spotkam znajomego”, gdzie wyniki nie są równoważne.
Zakres wartości
- P = 0 — zdarzenie niemożliwe
- P = 1 — zdarzenie pewne
- 0 < P < 1 — pozostałe przypadki
Wynik większy od jedności albo ujemny zawsze oznacza błąd rachunkowy — to najprostsza kontrola poprawności.
Przykłady
Kostka: prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej to 3/6 = 1/2.
Talia 52 kart: wyciągnięcie asa to 4/52 = 1/13.
Dwie monety: możliwe wyniki to OO, OR, RO, RR. Prawdopodobieństwo dokładnie jednego orła wynosi 2/4 = 1/2, bo dwa z czterech układów spełniają warunek.
Zdarzenie przeciwne
P(A′) = 1 − P(A)
Ta zależność bywa najkrótszą drogą do wyniku. Pytanie „jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki w trzech rzutach” wymaga rozpatrzenia wielu przypadków, ale zdarzenie przeciwne — brak szóstki w ogóle — liczy się jednym działaniem: 1 − (5/6)³.
Reguła praktyczna: gdy w zadaniu pojawia się zwrot „co najmniej”, niemal zawsze szybciej jest policzyć zdarzenie przeciwne.
Najczęstszy błąd: niezależność zdarzeń
Moneta nie ma pamięci. Po pięciu orłach z rzędu prawdopodobieństwo orła w szóstym rzucie nadal wynosi dokładnie 1/2.
Przekonanie, że „reszka musi już wypaść”, nazywa się złudzeniem hazardzisty. Wynika z mylenia dwóch różnych pytań: prawdopodobieństwo sześciu orłów z rzędu przed rozpoczęciem rzutów jest małe, ale gdy pięć już padło, przeszłość nie wpływa na kolejny rzut.
Drzewko prawdopodobieństwa
Przy zdarzeniach wieloetapowych pomocny jest schemat graficzny. Każdą możliwość rysuje się jako gałąź z przypisanym prawdopodobieństwem, a kolejne etapy jako dalsze rozgałęzienia.
Obowiązują dwie reguły. Idąc wzdłuż jednej gałęzi, prawdopodobieństwa mnożymy — tak liczy się szansę na konkretny ciąg zdarzeń. Sumując różne gałęzie prowadzące do tego samego wyniku, prawdopodobieństwa dodajemy. Kontrolą poprawności jest to, że prawdopodobieństwa wychodzące z jednego węzła muszą sumować się do jedności.
Paradoks dnia urodzin
W grupie 23 osób prawdopodobieństwo, że dwie mają urodziny tego samego dnia, przekracza 50 procent. Wynik wydaje się niemożliwy przy 365 dniach w roku.
Wyjaśnienie leży w liczbie porównywanych par: przy 23 osobach jest ich 253, a nie 23. Nie pytamy, czy ktoś ma urodziny w konkretnym dniu, lecz czy jakakolwiek para się pokrywa. To dobra ilustracja tego, jak łatwo źle zrozumieć postawione pytanie.