Potęgi — działania i prawa działań
Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. W zapisie aⁿ liczba a to podstawa, a n wykładnik. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy.
Potęgowanie to skrót zapisu, który upraszcza rachunki na dużych liczbach. Poniżej definicja, wszystkie prawa działań oraz przypadki, które sprawiają najwięcej kłopotów.
Definicja
aⁿ oznacza pomnożenie liczby a przez siebie n razy. Liczba a to podstawa, n to wykładnik.
2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
Prawa działań
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki
- aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ — dzieląc, odejmujemy
- (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ — potęgując potęgę, mnożymy wykładniki
- (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ — potęga iloczynu
- (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ — potęga ilorazu
Uwaga na najczęstszy błąd: przy dodawaniu potęg nie ma żadnego prawa. Wyrażenia 2³ + 2⁴ nie da się uprościć do 2⁷ — trzeba obliczyć osobno: 8 + 16 = 24.
Przypadki szczególne
- a⁰ = 1 dla każdego a różnego od zera
- a¹ = a
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ — wykładnik ujemny oznacza odwrotność
- a^(1/n) = ⁿ√a — wykładnik ułamkowy to pierwiastek
Dlaczego liczba do potęgi zerowej daje 1
To pytanie zadaje sobie każdy, a odpowiedź wynika z prawa dzielenia. Skoro aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, to dzieląc potęgę przez samą siebie otrzymujemy wykładnik zero.
Przykład: 2³ : 2³ = 2⁰. Ale każda liczba podzielona przez samą siebie daje 1, więc 2⁰ musi wynosić 1. Inaczej prawo dzielenia przestałoby działać.
Ta sama logika tłumaczy wykładniki ujemne: 2³ : 2⁵ = 2⁻², a licząc wprost otrzymujemy 8/32 = 1/4, czyli 1/2².
Potęga liczby ujemnej
Decyduje parzystość wykładnika. Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty ujemny: (−2)² = 4, ale (−2)³ = −8.
Kluczowa jest obecność nawiasu. Zapis −2⁴ to nie to samo co (−2)⁴. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje z boku, więc wynik to −16. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną, więc wynik to 16.
Notacja wykładnicza
Potęgi dziesiątki służą do zapisu bardzo dużych i bardzo małych liczb:
- Prędkość światła: 3 · 10⁸ m/s zamiast 300 000 000
- Masa elektronu: 9,1 · 10⁻³¹ kg
- Liczba Avogadra: 6,022 · 10²³
Zapis jest nie tylko krótszy — pozwala od razu ocenić rząd wielkości, co przy ciągu kilkunastu zer bywa trudne.
Kolejność działań z potęgami
Potęgowanie wykonuje się przed mnożeniem i dzieleniem, a tym bardziej przed dodawaniem. W wyrażeniu 3 + 2 · 5² najpierw liczymy 5² = 25, potem 2 · 25 = 50, a na końcu dodajemy 3, otrzymując 53.
Osobną pułapką jest potęga potęgi zapisana bez nawiasów. Zapis 2^3^2 czyta się od góry, czyli jako 2^(3²) = 2⁹ = 512, a nie (2³)² = 64. W zadaniach szkolnych taki zapis pojawia się rzadko, ale w kalkulatorach i arkuszach warto sprawdzić, którą konwencję stosuje dane narzędzie, bo różnica w wyniku bywa ogromna.
Wzrost wykładniczy
Warto mieć wyobrażenie o tempie, w jakim rosną potęgi. Klasyczny przykład to legenda o szachownicy: jedno ziarno na pierwszym polu, dwa na drugim, cztery na trzecim i tak dalej.
Na sześćdziesiątym czwartym polu wypadłoby 2⁶³ ziaren, a suma z całej szachownicy przekroczyłaby światowe zbiory zboża z tysięcy lat. To dlatego wzrost wykładniczy zaskakuje — przez długi czas wydaje się niepozorny, a potem gwałtownie wymyka się skali.