Ostrosłupy — rodzaje, wzory i przekroje

Ostrosłupy różnią się od graniastosłupów jedną podstawą i zbieżnymi ścianami bocznymi. Poniżej rodzaje, wzory i najczęstsze trudności.

Budowa

• Podstawa — dowolny wielokąt
• Ściany boczne — trójkąty schodzące się w jednym punkcie
• Wierzchołek — punkt zbiegu ścian bocznych
• Wysokość — odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy

Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: ostrosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.

Wzory

V = ⅓ · P_p · H  •  P_c = P_p + P_b

Zwróć uwagę, że w polu całkowitym podstawa występuje raz, w odróżnieniu od graniastosłupa, gdzie liczymy ją dwukrotnie.

Wysokość a apotema

To rozróżnienie sprawia najwięcej trudności. Wysokość bryły biegnie od wierzchołka prostopadle do podstawy, przez wnętrze. Apotema (wysokość ściany bocznej) leży na ścianie i biegnie od wierzchołka do środka krawędzi podstawy.

Apotema jest zawsze dłuższa od wysokości bryły. Obie wielkości wraz z połową krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny, więc łączy je twierdzenie Pitagorasa — to zależność potrzebna w większości zadań.

Czworościan foremny

Szczególny przypadek: ostrosłup, którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi. Jest jedną z pięciu brył platońskich i jedyną, w której każda ściana może pełnić rolę podstawy.

Skąd bierze się jedna trzecia

Ostrosłup ma objętość trzykrotnie mniejszą od graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Da się to pokazać doświadczalnie, przelewając wodę — potrzeba dokładnie trzech napełnień ostrosłupa, by wypełnić graniastosłup.

Istnieje też dowód geometryczny: sześcian można rozciąć na trzy przystające ostrosłupy o podstawie równej ścianie sześcianu i wysokości równej jego krawędzi. To najbardziej przekonujące uzasadnienie, bo pokazuje wprost, skąd bierze się współczynnik.

Ostrosłupy w architekturze

Kształt ostrosłupa pojawia się w budowlach od tysiącleci z powodu czysto konstrukcyjnego: masa rozkłada się szeroko u podstawy, a każda kolejna warstwa jest lżejsza od poprzedniej. Taka konstrukcja jest wyjątkowo stabilna i nie wymaga zaawansowanych technik, co tłumaczy jej niezależne pojawienie się w Egipcie, Mezopotamii i Ameryce Środkowej.

Piramidy egipskie mają przy tym ściany nachylone pod kątem zbliżonym do pięćdziesięciu stopni — na tyle stromo, by budowla robiła wrażenie, i na tyle łagodnie, by kamienne bloki nie zsuwały się podczas budowy. Wcześniejsze próby z większym nachyleniem kończyły się osunięciami, czego śladem jest tak zwana piramida łamana o zmienionym kącie w połowie wysokości.

Przekroje ostrosłupa

Przekrój równoległy do podstawy daje figurę podobną do podstawy, ale mniejszą. Jeśli przetniemy ostrosłup w połowie wysokości, bok przekroju będzie o połowę krótszy, a jego pole cztery razy mniejsze.

Część między przekrojem a podstawą nazywa się ostrosłupem ściętym. Jego objętość oblicza się jako różnicę objętości dużego ostrosłupa i odciętego wierzchołka — to najprostsza metoda i zwykle szybsza niż stosowanie osobnego wzoru.