Okrąg i koło — różnice, wzory i kąty
Okrąg to zbiór punktów oddalonych o ten sam promień od środka, czyli sama linia. Koło obejmuje dodatkowo wnętrze tej linii, dlatego ma pole, a okrąg długość.
Okrąg i koło to dwa różne obiekty, choć w mowie potocznej używa się ich zamiennie. Poniżej różnica, wzory i najważniejsze twierdzenia.
Okrąg a koło
- Okrąg — sama linia, zbiór punktów w równej odległości od środka
- Koło — okrąg wraz z wnętrzem
Konsekwencja praktyczna: okrąg ma długość, koło ma pole. Obręcz roweru to okrąg, a moneta koło.
Wzory
- Długość okręgu — L = 2πr = πd
- Pole koła — P = πr²
- Długość łuku — l = 2πr · (α/360°)
- Pole wycinka — P = πr² · (α/360°)
Dwa ostatnie wzory to po prostu odpowiednia część całości — ułamek α/360 mówi, jaką część pełnego obrotu obejmuje wycinek.
Elementy okręgu
- Promień — od środka do okręgu
- Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu
- Średnica — najdłuższa cięciwa, przechodzi przez środek
- Styczna — prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem
- Sieczna — prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach
Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. To zależność potrzebna w większości zadań o stycznych.
Kąt środkowy i wpisany
Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, wpisany na samym okręgu.
Kluczowe twierdzenie: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od środkowego opartego na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są przy tym równe.
Twierdzenie Talesa o kącie
Szczególny przypadek powyższego: kąt wpisany oparty na średnicy zawsze wynosi 90 stopni.
Ma to praktyczne zastosowanie — pozwala wykreślić kąt prosty bez ekierki oraz sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny. Jeśli wierzchołek trójkąta leży na okręgu, a przeciwległy bok jest średnicą, kąt przy tym wierzchołku musi być prosty.
Wzajemne położenie okręgów
Dwa okręgi mogą znajdować się względem siebie w pięciu położeniach, a rozstrzyga o tym porównanie odległości środków z sumą i różnicą promieni. Gdy odległość przewyższa sumę promieni, okręgi są rozłączne zewnętrznie. Gdy równa się sumie, są styczne zewnętrznie i mają jeden punkt wspólny.
Przy odległości mieszczącej się między różnicą a sumą promieni okręgi przecinają się w dwóch punktach. Równość z różnicą promieni oznacza styczność wewnętrzną, a odległość mniejsza od różnicy — położenie jednego okręgu wewnątrz drugiego bez punktów wspólnych. Ten sam schemat pozwala rozstrzygnąć położenie prostej względem okręgu, porównując odległość środka od prostej z promieniem.
Liczba π
Stosunek obwodu okręgu do jego średnicy jest zawsze taki sam, niezależnie od wielkości — ta stała to π, w przybliżeniu 3,14159.
Jest liczbą niewymierną, więc jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza. W praktyce inżynierskiej wystarcza kilka miejsc po przecinku — do obliczenia obwodu Ziemi z dokładnością do centymetra potrzeba około dziesięciu cyfr.