Objętość — wzory dla brył i jednostki
Objętość to miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę, wyrażana w jednostkach sześciennych. Dla prostopadłościanu wynosi a·b·c, dla walca πr²H, a dla kuli 4/3πr³.
Objętość opisuje, ile miejsca zajmuje bryła w przestrzeni. Poniżej wzory, jednostki i najczęstsze pułapki przy przeliczaniu.
Jednostki objętości
Podstawową jednostką jest metr sześcienny (m³), ale w praktyce częściej używa się litrów.
- 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 litrów
- 1 dm³ = 1 litr = 1000 cm³
- 1 cm³ = 1 mililitr
Warto zapamiętać dwie równości: 1 dm³ = 1 litr oraz 1 cm³ = 1 ml. Pozwalają swobodnie przechodzić między geometrią a miarami kuchennymi.
Wzory dla brył
- Prostopadłościan — V = a · b · c
- Sześcian — V = a³
- Graniastosłup — V = Pp · H (pole podstawy razy wysokość)
- Walec — V = πr² · H
- Ostrosłup — V = ⅓ · Pp · H
- Stożek — V = ⅓ · πr² · H
- Kula — V = 4/3 · πr³
Skąd bierze się jedna trzecia
Ostrosłup i stożek mają objętość równą jednej trzeciej odpowiadającego im graniastosłupa lub walca o tej samej podstawie i wysokości.
Da się to sprawdzić doświadczalnie: napełniając stożek wodą i przelewając do walca o identycznej podstawie i wysokości, trzeba powtórzyć czynność dokładnie trzy razy. To klasyczne doświadczenie szkolne, które zapada w pamięć lepiej niż sam wzór.
Najczęstszy błąd przy przeliczaniu
Przy objętości współczynnik przeliczeniowy podnosimy do trzeciej potęgi. Skoro 1 m = 100 cm, to 1 m³ = 100³ cm³ = 1 000 000 cm³, a nie 100.
Analogicznie 1 dm³ = 10³ cm³ = 1000 cm³. Pomyłka w tym miejscu daje wynik zaniżony tysiąckrotnie, a przy zadaniach z jednostkami jest najczęstszą przyczyną błędnych odpowiedzi.
Objętość a pojemność
Pojęcia bywają używane zamiennie, choć różnią się odcieniem znaczenia. Objętość to miejsce zajmowane przez ciało, pojemność to ilość, jaką naczynie może pomieścić w środku.
Butelka ma pojemność litra, ale jej objętość zewnętrzna jest większa — obejmuje też grubość szkła. W zadaniach szkolnych różnicę zwykle się pomija, ale przy obliczeniach technicznych ma znaczenie.
Objętość a skala — dlaczego wielkość zmienia wszystko
Przy powiększaniu bryły objętość rośnie znacznie szybciej niż powierzchnia. Podwojenie wszystkich wymiarów zwiększa powierzchnię czterokrotnie, ale objętość aż ośmiokrotnie — to konsekwencja podnoszenia współczynnika do drugiej i trzeciej potęgi.
Zależność ta wyjaśnia wiele zjawisk. Małe zwierzęta mają dużą powierzchnię w stosunku do objętości, więc szybko tracą ciepło i muszą jeść niemal bez przerwy. Duże zwierzęta stygną wolno, ale mają problem z odprowadzaniem nadmiaru ciepła — stąd ogromne uszy słoni, działające jak radiatory. Ta sama reguła ogranicza rozmiary owadów i tłumaczy, dlaczego kostki lodu z zamrażarki topnieją szybciej niż jedna duża bryła o tej samej masie.
Objętość brył nieregularnych
Wyznacza się ją metodą wypierania cieczy. Przedmiot zanurza się w naczyniu z wodą, a przyrost poziomu odpowiada dokładnie objętości ciała.
Metoda działa pod warunkiem, że przedmiot tonie i nie nasiąka wodą. Przy ciałach pływających trzeba je docisnąć cienkim prętem albo obciążyć, uwzględniając objętość obciążnika w obliczeniach.