Nierówności — rozwiązywanie i zapis wyniku
Nierówność to wyrażenie ze znakiem mniejszości lub większości zamiast równości. Rozwiązuje się ją jak równanie, ale przy mnożeniu i dzieleniu przez liczbę ujemną znak się odwraca.
Nierówności rozwiązuje się niemal identycznie jak równania, z jednym wyjątkiem, który decyduje o poprawności wyniku. Poniżej zasady i zapis rozwiązań.
Znaki nierówności
- < — mniejsze
- > — większe
- ≤ — mniejsze lub równe
- ≥ — większe lub równe
Zasada, która odróżnia je od równań
Mnożenie lub dzielenie obu stron przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.
Przykład: z nierówności −2x > 6 dzielimy obie strony przez −2 i otrzymujemy x < −3, a nie x > −3.
Powód jest prosty: 3 > 2, ale po pomnożeniu przez −1 mamy −3 < −2. Kolejność liczb na osi odwraca się przy zmianie znaku.
Dodawanie i odejmowanie znaku nie zmieniają — dotyczy to wyłącznie mnożenia i dzielenia.
Przykład rozwiązania
3x − 5 < 2x + 1
3x − 2x < 1 + 5 → x < 6
Rozwiązaniem nie jest jedna liczba, lecz zbiór wszystkich liczb mniejszych od sześciu.
Zapis rozwiązania
- Nierównością — x < 6
- Przedziałem — x ∈ (−∞, 6)
- Na osi liczbowej — zaznaczony obszar z kółkiem w punkcie granicznym
W zapisie przedziałowym nawias okrągły oznacza, że koniec nie należy do zbioru, a kwadratowy że należy. Przy nieskończoności zawsze stosuje się nawias okrągły.
Na osi liczbowej odpowiednikiem tej zasady jest kółko puste (niedomknięte) albo wypełnione.
Nierówności bez rozwiązań i tożsamościowe
Podobnie jak przy równaniach zdarzają się przypadki szczególne. Nierówność x + 1 > x + 2 po redukcji daje 1 > 2 — zdanie fałszywe, więc brak rozwiązań.
Odwrotnie, x + 3 > x + 1 daje 3 > 1, czyli zdanie prawdziwe — spełnia ją każda liczba rzeczywista.
Układy nierówności
Gdy warunków jest kilka naraz, rozwiązuje się każdy z osobna, a następnie szuka części wspólnej otrzymanych przedziałów. Wynikiem jest zbiór liczb spełniających wszystkie warunki jednocześnie.
Najwygodniej zaznaczyć oba rozwiązania na jednej osi liczbowej i odczytać obszar pokrywający się. Może się zdarzyć, że przedziały nie mają części wspólnej — wtedy układ nie ma rozwiązań, mimo że każda nierówność z osobna była rozwiązywalna. Taki wynik nie oznacza błędu rachunkowego, tylko sprzeczność warunków, co w zadaniach z treścią odpowiada sytuacji niemożliwej do spełnienia.
Nierówności w praktyce
Opisują wszystkie sytuacje z ograniczeniem, a tych jest w życiu więcej niż warunków dokładnej równości. Budżet, który nie może zostać przekroczony, nośność windy, minimalny wiek, dopuszczalna prędkość — każde z tych ograniczeń to nierówność.
Dlatego zadania tekstowe z nierównościami zwykle pytają o wartość graniczną: ile najwięcej rzeczy da się kupić za daną kwotę albo od ilu sztuk opłaca się większe opakowanie. Odpowiedzią jest wtedy skrajna liczba całkowita ze znalezionego przedziału, a nie sam przedział — o czym łatwo zapomnieć po poprawnym rozwiązaniu części rachunkowej.