Mediana, średnia i dominanta — różnice
Mediana to wartość środkowa uporządkowanego zbioru danych. Przy nieparzystej liczbie elementów jest to element środkowy, przy parzystej średnia dwóch środkowych.
Średnia, mediana i dominanta opisują to samo — typową wartość w zbiorze — ale często dają różne wyniki. Zrozumienie różnicy chroni przed myleniem statystyk.
Trzy miary
- Średnia arytmetyczna — suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę
- Mediana — wartość środkowa po uporządkowaniu danych
- Dominanta (moda) — wartość występująca najczęściej
Jak obliczyć medianę
- Uporządkuj dane rosnąco — to krok najczęściej pomijany
- Przy nieparzystej liczbie elementów wybierz środkowy
- Przy parzystej oblicz średnią dwóch środkowych
Dla zbioru 3, 7, 2, 9, 5 porządkujemy: 2, 3, 5, 7, 9. Mediana to 5.
Dla zbioru 4, 8, 2, 6 porządkujemy: 2, 4, 6, 8. Mediana to (4+6)/2 = 5.
Kiedy mediana jest lepsza od średniej
Średnia jest wrażliwa na wartości skrajne, mediana nie. To kluczowa różnica praktyczna.
Przykład: w firmie zatrudnionych jest dziewięć osób z pensją 4000 zł i jeden właściciel z pensją 50 000 zł. Średnia wynosi 8600 zł, choć dziewięć na dziesięć osób zarabia znacznie mniej. Mediana to 4000 zł i znacznie lepiej opisuje typowe wynagrodzenie.
Dlatego przy danych o zarobkach, cenach mieszkań czy majątku podaje się zwykle medianę — te rozkłady mają długi ogon wartości bardzo wysokich, który zawyża średnią.
Kiedy średnia jest lepsza
Gdy dane są rozłożone równomiernie, bez wartości skrajnych. Średnia uwzględnia wtedy wszystkie obserwacje, a nie tylko środkową — dlatego lepiej opisuje na przykład średnią ocen czy przeciętną temperaturę.
Średnia jest też jedyną z trzech miar, która pozwala odtworzyć sumę: znając średnią i liczbę elementów, obliczymy sumę całkowitą. Mediany nie da się w ten sposób wykorzystać.
Dominanta
Przydaje się przy danych nieliczbowych, gdzie średniej policzyć się nie da. Najczęściej kupowany rozmiar butów, najpopularniejszy kolor samochodu, najczęstsza ocena w klasie.
Zbiór może mieć kilka dominant albo nie mieć żadnej — jeśli każda wartość występuje tyle samo razy, dominanta nie istnieje.
Kwartyle i rozstęp
Medianę można uogólnić: dzieli ona zbiór na dwie równe części, a kwartyle na cztery. Pierwszy kwartyl odcina jedną czwartą najniższych wartości, trzeci trzy czwarte. Różnica między nimi, zwana rozstępem ćwiartkowym, pokazuje, jak szeroko rozrzucona jest środkowa połowa danych.
Ta miara bywa użyteczniejsza od zwykłego rozstępu, czyli różnicy między wartością największą a najmniejszą, bo nie zależy od pojedynczych wartości skrajnych. W raportach o zarobkach spotyka się właśnie zestawienie mediany z kwartylami — mówi ono znacznie więcej niż sama średnia, bo pokazuje, w jakim przedziale mieści się typowa połowa przypadków.
Jak nie dać się zmylić statystyce
Podanie samej średniej bez informacji o rozrzucie danych bywa mylące. Zdanie „średnia głębokość rzeki to metr” nie znaczy, że da się ją bezpiecznie przejść — w jednym miejscu może mieć pół metra, w innym pięć.
Dlatego warto pytać o trzy rzeczy naraz: jaka jest średnia, jaka mediana i jaki rozrzut wartości. Rozbieżność między średnią a medianą sama w sobie jest informacją — wskazuje na obecność wartości skrajnych.