Logarytmy — definicja, własności i zastosowania
Logarytm o podstawie a z liczby b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, by otrzymać b. Logarytmowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania.
Logarytm wygląda na pojęcie abstrakcyjne, ale odpowiada na bardzo konkretne pytanie: do której potęgi trzeba podnieść jedną liczbę, by otrzymać drugą.
Definicja
loga b = c wtedy i tylko wtedy, gdy ac = b
Przykład: log₂ 8 = 3, bo 2³ = 8. Pytanie brzmi „ile dwójek trzeba pomnożyć, żeby dostać osiem”.
Warunki: podstawa a musi być dodatnia i różna od jedności, a liczba logarytmowana b dodatnia. Logarytm z liczby ujemnej ani z zera nie istnieje.
Podstawowe wartości
- loga 1 = 0 — bo każda liczba do potęgi zerowej daje jeden
- loga a = 1
- log10 1000 = 3 — logarytm dziesiętny, zapisywany często jako log
Własności
- log(x · y) = log x + log y
- log(x : y) = log x − log y
- log(xn) = n · log x
Zwróć uwagę na istotę tych wzorów: logarytm zamienia mnożenie na dodawanie. To właśnie ta własność zadecydowała o jego znaczeniu historycznym.
Po co powstały logarytmy
Wprowadził je Napier na początku XVII wieku, by ułatwić rachunki astronomiczne. Zamiast mnożyć wielocyfrowe liczby, odczytywano ich logarytmy z tablic, dodawano, a wynik odczytywano z powrotem.
Ta metoda skróciła czas obliczeń o rzędy wielkości i pozostawała w użyciu aż do upowszechnienia kalkulatorów. Suwak logarytmiczny, oparty na tej samej zasadzie, był podstawowym narzędziem inżynierów jeszcze w latach siedemdziesiątych — projekty pierwszych lotów kosmicznych liczono właśnie na nim.
Gdzie spotykamy skale logarytmiczne
- pH — zmiana o jeden stopień to dziesięciokrotna różnica stężenia
- Decybele — natężenie dźwięku
- Magnituda — siła trzęsień ziemi
- Wielkość gwiazdowa — jasność obiektów na niebie
Wspólny powód jest jeden: skala logarytmiczna pozwala zmieścić na jednym wykresie wielkości różniące się o rzędy wielkości. Bez niej porównanie szeptu z odgłosem silnika odrzutowego wymagałoby osi o milionach jednostek.
Logarytm naturalny
Obok logarytmu dziesiętnego stosuje się logarytm o podstawie e, oznaczany symbolem ln. Liczba e wynosi w przybliżeniu 2,718 i jest niewymierna, podobnie jak π.
Podstawa ta wydaje się dziwna, ale pojawia się naturalnie wszędzie tam, gdzie coś rośnie proporcjonalnie do swojej aktualnej wielkości — przy procencie składanym naliczanym w sposób ciągły, rozmnażaniu organizmów czy rozpadzie promieniotwórczym. Dlatego wzory opisujące te zjawiska są najprostsze właśnie w zapisie z logarytmem naturalnym, a nie dziesiętnym. Stąd jego nazwa: nie jest wygodniejszy rachunkowo, lecz naturalny dla samych procesów.
Skala logarytmiczna a percepcja
Ciekawe, że ludzkie zmysły działają w podobny sposób. Odbieramy głośność, jasność i wysokość dźwięku nie w skali liniowej, lecz zbliżonej do logarytmicznej — podwojenie natężenia bodźca nie daje wrażenia dwukrotnie silniejszego.
Dlatego skale logarytmiczne bywają wygodniejsze nie tylko rachunkowo, ale i poznawczo: odpowiadają temu, jak faktycznie postrzegamy różnice.