➗ Matematyka ✓ Zweryfikowane

Liczby wymierne i niewymierne — różnice

Szybka odpowiedź

Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Liczby niewymierne, jak pierwiastek z dwóch czy π, takiego zapisu nie mają.

Podział na liczby wymierne i niewymierne opiera się na jednym kryterium, ale prowadzi do zaskakujących wniosków o budowie osi liczbowej.

Definicje

Wymierna — da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, przy mianowniku różnym od zera
Niewymierna — takiego zapisu nie ma

Do wymiernych należą wszystkie liczby całkowite (bo 5 = 5/1), ułamki zwykłe i dziesiętne oraz rozwinięcia okresowe.

Rozpoznawanie po rozwinięciu dziesiętnym

Skończone — 0,25 → wymierna
Nieskończone okresowe — 0,333… → wymierna
Nieskończone nieokresowe — 1,41421356… → niewymierna

To kryterium rozstrzyga wszystkie przypadki: liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie nigdy się nie kończy i nigdy nie zaczyna powtarzać.

Przykłady liczb niewymiernych

√2, √3, √5 — pierwiastki z liczb niebędących kwadratami
π — stosunek obwodu okręgu do średnicy
e — podstawa logarytmu naturalnego

Uwaga: nie każdy pierwiastek jest niewymierny. √4 = 2, √9 = 3 — to liczby całkowite, a więc wymierne.

Dowód niewymierności √2

Klasyczny przykład rozumowania przez sprowadzenie do sprzeczności. Zakładamy, że √2 = p/q, gdzie ułamek jest nieskracalny.

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy p² = 2q², więc p² jest parzyste, a zatem i p jest parzyste. Podstawiając p = 2k, dochodzimy do q² = 2k², czyli q również jest parzyste. Ale wtedy oba są podzielne przez dwa, co przeczy założeniu o nieskracalności.

Odkrycie tego faktu było wstrząsem dla pitagorejczyków, którzy wierzyli, że wszystko da się wyrazić stosunkiem liczb całkowitych.

Zamiana rozwinięcia okresowego na ułamek

Każde rozwinięcie okresowe da się zapisać jako ułamek zwykły. Dla 0,(3) przyjmujemy x = 0,333…, mnożymy przez 10 otrzymując 10x = 3,333…, a po odjęciu stronami zostaje 9x = 3, czyli x = 1/3.

Ta sama metoda pokazuje zaskakującą równość: 0,(9) = 1. Przyjmując x = 0,999… i mnożąc przez 10, otrzymujemy 9x = 9, więc x = 1. To nie przybliżenie, lecz dwa zapisy tej samej liczby.

Działania na liczbach niewymiernych

Wynik działania na liczbach niewymiernych bywa nieoczekiwany. Suma dwóch liczb niewymiernych może być wymierna — na przykład √2 dodane do liczby przeciwnej daje zero. Podobnie iloczyn: √2 razy √2 to dokładnie 2.

Pewne jest natomiast, że suma liczby wymiernej i niewymiernej zawsze pozostaje niewymierna, podobnie jak iloczyn liczby niewymiernej przez wymierną różną od zera. Te dwie reguły wystarczają do rozstrzygnięcia większości zadań, w których trzeba ocenić charakter wyniku bez jego obliczania.

Ile jest jednych i drugich

Obu rodzajów jest nieskończenie wiele, ale niewymiernych jest nieporównanie więcej. Liczby wymierne da się ustawić w ciąg i ponumerować, niewymiernych nie — dowiódł tego Cantor pod koniec XIX wieku.

Praktyczna konsekwencja jest zaskakująca: wybierając losowo punkt na osi liczbowej, niemal na pewno trafimy na liczbę niewymierną, choć w szkole niemal zawsze operujemy wymiernymi.

Najczęstsze pytania

Czym jest liczba wymierna?

Liczbą, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Należą tu całkowite, ułamki i rozwinięcia okresowe.

Jak rozpoznać liczbę niewymierną?

Po rozwinięciu dziesiętnym — jest nieskończone i nieokresowe, czyli nigdy się nie kończy ani nie zaczyna powtarzać.

Czy każdy pierwiastek jest niewymierny?

Nie. Pierwiastek z 4 wynosi 2, a z 9 daje 3 — to liczby całkowite, więc wymierne.

Jak zamienić rozwinięcie okresowe na ułamek?

Mnożąc przez potęgę dziesiątki i odejmując stronami. Dla 0,(3) otrzymujemy 9x = 3, czyli x = 1/3.

Czy 0,(9) równa się 1?

Tak, to dwa zapisy tej samej liczby, co pokazuje ta sama metoda zamiany na ułamek.