Graniastosłupy — rodzaje, wzory i siatki

Graniastosłupy to najczęściej spotykana grupa brył — od pudełek po budynki. Poniżej rodzaje, wzory i sposób na uniknięcie typowych błędów.

Budowa

• Podstawy — dwa przystające, równoległe wielokąty
• Ściany boczne — prostokąty w graniastosłupie prostym
• Krawędzie boczne — łączą odpowiadające sobie wierzchołki podstaw

Nazwa graniastosłupa pochodzi od kształtu podstawy: trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Nie od liczby wszystkich ścian, co bywa mylące.

Rodzaje

• Prosty — krawędzie boczne prostopadłe do podstaw
• Pochyły — krawędzie nachylone pod innym kątem
• Prawidłowy — prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny

Uwaga na definicję prawidłowego: musi spełniać oba warunki naraz. Graniastosłup o podstawie kwadratu, ale pochyły, nie jest prawidłowy.

Wzory

V = P_p · H — objętość to pole podstawy razy wysokość

P_c = 2P_p + P_b — pole całkowite to dwie podstawy plus pole boczne

W graniastosłupie prostym pole boczne oblicza się szczególnie łatwo: P_b = Obw_p · H, czyli obwód podstawy razy wysokość. Wynika to z tego, że rozwinięta powierzchnia boczna tworzy jeden prostokąt.

Przykład

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 10 cm:

V = 4² · 10 = 160 cm³

P_c = 2 · 16 + 16 · 10 = 32 + 160 = 192 cm²

Liczba ścian, krawędzi i wierzchołków

Dla graniastosłupa o podstawie n-kąta:

• Ściany — n + 2
• Wierzchołki — 2n
• Krawędzie — 3n

Wartości te spełniają wzór Eulera: liczba wierzchołków minus krawędzie plus ściany zawsze daje 2. Dla graniastosłupa sześciokątnego: 12 − 18 + 8 = 2. To wygodny sposób sprawdzenia, czy nie pomyliliśmy się w liczeniu.

Przekątne

W prostopadłościanie o wymiarach a, b, c przekątna bryły wynosi d = √(a² + b² + c²).

To rozszerzenie twierdzenia Pitagorasa na trzy wymiary. Wzór wyprowadza się dwuetapowo: najpierw liczy się przekątną podstawy, a potem stosuje Pitagorasa do trójkąta utworzonego przez tę przekątną, wysokość i przekątną bryły.

Graniastosłupy w praktyce

Kształt graniastosłupa dominuje w budownictwie i pakowaniu z powodów czysto praktycznych. Prostopadłościenne pudełka układa się bez strat miejsca, podczas gdy między walcami zawsze zostaje pusta przestrzeń. Ta sama zasada decyduje o kształcie cegieł, pustaków i palet transportowych.

Wyjątkiem godnym uwagi jest graniastosłup sześciokątny, który również wypełnia płaszczyznę bez luk, a przy tym zużywa najmniej materiału na ścianki w stosunku do objętości. Właśnie dlatego pszczoły budują komórki plastra w tym kształcie, a konstruktorzy stosują struktury o przekroju sześciokątnym tam, gdzie liczy się wytrzymałość przy małej masie.

Siatka graniastosłupa

Siatka to rozwinięcie bryły na płaszczyznę. Dla graniastosłupa prostego składa się z dwóch podstaw i pasa prostokątów tworzących powierzchnię boczną.

Rysowanie siatki jest najlepszym sposobem na zrozumienie wzoru na pole całkowite — od razu widać, z jakich figur składa się powierzchnia bryły i dlaczego pole boczne to obwód razy wysokość. Ta sama bryła może mieć przy tym wiele różnych poprawnych siatek, zależnie od tego, wzdłuż których krawędzi ją rozetniemy.