Funkcja liniowa — wzór, wykres i własności
Funkcja liniowa ma wzór y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b wyraz wolny. Jej wykresem jest prosta, a współczynnik a decyduje o jej nachyleniu.
Funkcja liniowa to najprostszy typ funkcji, a zarazem podstawa do zrozumienia wszystkich pozostałych. Poniżej wzór, interpretacja współczynników i sposoby rysowania wykresu.
Wzór i współczynniki
y = ax + b
- a — współczynnik kierunkowy, decyduje o nachyleniu prostej
- b — wyraz wolny, wskazuje punkt przecięcia z osią Y
Jak czytać współczynnik a
- a > 0 — funkcja rosnąca, prosta wznosi się w prawo
- a < 0 — funkcja malejąca, prosta opada
- a = 0 — funkcja stała, prosta pozioma
Wartość a mówi też, o ile zmienia się y przy wzroście x o jeden. Przy a = 3 każdy krok w prawo oznacza wzrost o trzy jednostki w górę — im większa wartość bezwzględna a, tym prosta bardziej stroma.
Jak narysować wykres
Wystarczą dwa punkty, bo przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Najprościej:
- Podstaw x = 0 — otrzymasz punkt (0, b), czyli przecięcie z osią Y
- Podstaw dowolne inne x, na przykład 1
- Połącz oba punkty linią
Dla y = 2x − 1: przy x = 0 mamy y = −1, przy x = 1 mamy y = 1. Punkty (0, −1) i (1, 1) wyznaczają prostą.
Miejsce zerowe
To wartość x, dla której y = 0 — punkt przecięcia z osią X. Obliczamy, przyrównując wzór do zera:
ax + b = 0 → x = −b/a
Dla y = 2x − 6 miejsce zerowe wynosi x = 3.
Proste równoległe i prostopadłe
- Równoległe — mają ten sam współczynnik a
- Prostopadłe — iloczyn ich współczynników wynosi −1, czyli a₁ · a₂ = −1
Prosta prostopadła do y = 2x + 1 ma współczynnik −1/2, bo 2 · (−1/2) = −1. To zależność często sprawdzana na egzaminie.
Wyznaczanie wzoru z dwóch punktów
Typowe zadanie polega na odwróceniu procedury: znamy dwa punkty i mamy podać wzór prostej. Współczynnik kierunkowy obliczamy jako iloraz różnic — dzielimy przyrost wartości y przez przyrost x.
Dla punktów (1, 3) oraz (4, 9) otrzymujemy a = (9 − 3) / (4 − 1) = 2. Następnie podstawiamy jeden z punktów do wzoru y = 2x + b, co daje 3 = 2 · 1 + b, czyli b = 1. Szukana prosta ma więc równanie y = 2x + 1. Warto sprawdzić wynik, podstawiając drugi punkt — jeśli równość nie wychodzi, gdzieś jest błąd rachunkowy.
Gdzie funkcja liniowa opisuje rzeczywistość
Wszędzie tam, gdzie zmiana zachodzi w stałym tempie: koszt taksówki (opłata początkowa jako b, stawka za kilometr jako a), wynagrodzenie z premią od sztuki, zużycie paliwa przy stałej prędkości, rachunek za prąd z opłatą stałą.
Warto jednak pamiętać o ograniczeniu: model liniowy działa tylko w pewnym zakresie. Zużycie paliwa rośnie liniowo do pewnej prędkości, powyżej której opór powietrza zaczyna dominować i zależność przestaje być prosta. Dlatego przy przewidywaniu na podstawie funkcji liniowej trzeba sprawdzić, czy nie wychodzimy poza obszar, w którym została ona dopasowana.