Funkcja kwadratowa — wzory, wykres i delta
Funkcja kwadratowa ma wzór y = ax² + bx + c, gdzie a jest różne od zera. Jej wykresem jest parabola, a liczba miejsc zerowych zależy od wyróżnika delta.
Funkcja kwadratowa opisuje wszystko, co przyspiesza jednostajnie — od lotu piłki po hamowanie samochodu. Poniżej postacie wzoru, wykres i sposoby rozwiązywania.
Trzy postacie wzoru
- Ogólna — y = ax² + bx + c
- Kanoniczna — y = a(x − p)² + q, gdzie (p, q) to wierzchołek
- Iloczynowa — y = a(x − x₁)(x − x₂), gdy istnieją miejsca zerowe
Każda postać ujawnia co innego. Z ogólnej odczytamy punkt przecięcia z osią Y, z kanonicznej wierzchołek, z iloczynowej miejsca zerowe — dlatego warto umieć przechodzić między nimi.
Wyróżnik delta
Δ = b² − 4ac
- Δ > 0 — dwa miejsca zerowe
- Δ = 0 — jedno miejsce zerowe
- Δ < 0 — brak miejsc zerowych
Wzory: x₁ = (−b − √Δ) / 2a oraz x₂ = (−b + √Δ) / 2a.
Znak delty warto sprawdzić przed obliczaniem pierwiastków — ujemna wartość kończy zadanie od razu.
Wierzchołek paraboli
p = −b / 2a • q = −Δ / 4a
Wierzchołek wyznacza wartość najmniejszą funkcji przy a dodatnim i największą przy a ujemnym. To on odpowiada na pytania o maksimum zysku, minimum kosztu czy największą wysokość rzutu.
Jak wygląda wykres
- a > 0 — ramiona skierowane w górę, funkcja ma minimum
- a < 0 — ramiona w dół, funkcja ma maksimum
- |a| większe — parabola węższa
- c — wskazuje punkt przecięcia z osią Y
Parabola jest symetryczna względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Dlatego miejsca zerowe leżą w równych odległościach od wierzchołka — to szybki sposób kontroli wyniku.
Kiedy delta jest zbędna
Przy równaniach niepełnych szybciej działają inne metody. Równanie x² − 9 = 0 rozwiązujemy przez wzór skróconego mnożenia, a x² − 5x = 0 przez wyłączenie x przed nawias.
Delta jest narzędziem uniwersalnym, ale nie zawsze najszybszym. Warto najpierw sprawdzić, czy równanie nie jest niepełne albo czy nie da się go rozłożyć na czynniki.
Wzory Vietea
Znając współczynniki, można poznać sumę i iloczyn pierwiastków bez ich obliczania. Suma wynosi −b/a, a iloczyn c/a. Zależności te działają wtedy, gdy delta jest nieujemna, czyli gdy pierwiastki w ogóle istnieją.
Zastosowanie jest podwójne. Po pierwsze, pozwalają szybko sprawdzić poprawność obliczonych pierwiastków — jeśli ich suma nie zgadza się z −b/a, gdzieś jest błąd. Po drugie, umożliwiają rozwiązywanie zadań, w których pyta się o sumę odwrotności pierwiastków albo sumę ich kwadratów, bez wyznaczania samych pierwiastków. Przy niewymiernych wynikach oszczędza to sporo rachunków.
Gdzie występuje funkcja kwadratowa
Tor lotu piłki, strumień wody z fontanny, kształt anteny satelitarnej i reflektora — wszystkie opisuje parabola. Powód jest ten sam: przy stałym przyspieszeniu droga zależy od kwadratu czasu.
Odbłyśniki mają kształt paraboliczny, bo ta krzywa ma szczególną własność — wszystkie promienie równoległe do osi odbijają się dokładnie w jednym punkcie, w ognisku. Działa to również odwrotnie, dlatego reflektor ze źródłem światła w ognisku daje wiązkę równoległą.