Czworokąty — rodzaje, własności i wzory
Czworokąt to figura o czterech bokach, której kąty sumują się do 360 stopni. Do czworokątów należą kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez i deltoid.
Czworokąty tworzą uporządkowaną hierarchię, w której każda kolejna figura jest szczególnym przypadkiem poprzedniej. Poniżej rodzaje, wzory i zależności.
Hierarchia czworokątów
- Trapez — ma co najmniej jedną parę boków równoległych
- Równoległobok — trapez o dwóch parach boków równoległych
- Romb — równoległobok o wszystkich bokach równych
- Prostokąt — równoległobok o kątach prostych
- Kwadrat — jednocześnie romb i prostokąt
Wynika stąd, że każdy kwadrat jest prostokątem i rombem, każdy prostokąt równoległobokiem, a każdy równoległobok trapezem. Zależność działa tylko w jedną stronę.
Wzory na pole
- Kwadrat — P = a²
- Prostokąt — P = a · b
- Równoległobok — P = a · h
- Romb — P = a · h albo P = ½ · d₁ · d₂
- Trapez — P = ½ · (a + b) · h
- Deltoid — P = ½ · d₁ · d₂
We wzorze na pole trapezu wyrażenie (a + b) / 2 to średnia arytmetyczna podstaw. Trapez ma więc pole takie samo jak prostokąt o boku równym tej średniej — to najprostszy sposób zapamiętania wzoru.
Własności przekątnych
- Równoległobok — przekątne dzielą się na połowy
- Prostokąt — przekątne są równe
- Romb — przekątne są prostopadłe i dzielą kąty na połowy
- Kwadrat — łączy wszystkie powyższe własności
Przekątne bywają najszybszą drogą do rozpoznania figury: jeśli są równe i przecinają się w połowie pod kątem prostym, mamy kwadrat.
Trapez równoramienny
Ma ramiona równej długości, a jego kąty przy każdej podstawie są równe. Przekątne również mają jednakową długość — to własność wyróżniająca go spośród trapezów.
Jako jedyny trapez da się wpisać w okrąg, co wynika bezpośrednio z równości kątów przy podstawach.
Suma kątów i podział na trójkąty
Kąty każdego czworokąta sumują się do 360 stopni, co łatwo uzasadnić: przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich wnosi 180 stopni. Ta sama metoda działa dla dowolnego wielokąta i prowadzi do wzoru ogólnego.
Zależność bywa przydatna w zadaniach, w których podano trzy kąty i trzeba wyznaczyć czwarty. Warto też pamiętać, że dotyczy ona wyłącznie czworokątów wypukłych — przy figurach wklęsłych, gdzie jeden kąt przekracza 180 stopni, suma pozostaje ta sama, ale kąt wklęsły trzeba mierzyć po właściwej stronie, co bywa źródłem pomyłek.
Okrąg wpisany i opisany
W czworokąt da się wpisać okrąg, gdy sumy przeciwległych boków są równe. Na czworokącie da się opisać okrąg, gdy sumy przeciwległych kątów wynoszą 180 stopni.
Kwadrat spełnia oba warunki i jest jedynym czworokątem, w którym środki obu okręgów pokrywają się w tym samym punkcie. Warunki te bywają jedynym sposobem rozstrzygnięcia zadania, w którym nie podano wszystkich wymiarów.