Ciągi liczbowe — arytmetyczny i geometryczny

Ciągi opisują zjawiska zmieniające się regularnie — od oszczędności na koncie po rozmnażanie bakterii. Poniżej dwa podstawowe rodzaje wraz ze wzorami.

Czym jest ciąg

Ciąg to funkcja przyporządkowująca każdej liczbie naturalnej pewną wartość. Kolejne wyrazy oznaczamy a₁, a₂, a₃, a ogólny wyraz zapisujemy jako aₙ.

Kluczowa cecha: kolejność ma znaczenie. Ciąg 1, 2, 3 to nie to samo co 3, 2, 1, choć zbiór wartości jest identyczny.

Ciąg arytmetyczny

Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej liczby, zwanej różnicą r.

• Wzór ogólny — aₙ = a₁ + (n − 1) · r
• Suma n wyrazów — Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Przykład: 3, 7, 11, 15… ma różnicę 4, więc a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39.

Wzór na sumę wynika z prostej obserwacji: dodając pierwszy wyraz do ostatniego, drugi do przedostatniego i tak dalej, zawsze otrzymujemy tę samą wartość. Wystarczy pomnożyć ją przez liczbę takich par.

Ciąg geometryczny

Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stałą liczbę, zwaną ilorazem q.

• Wzór ogólny — aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
• Suma n wyrazów — Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q), dla q ≠ 1

Przykład: 2, 6, 18, 54… ma iloraz 3, więc a₆ = 2 · 3⁵ = 486.

Jak rozpoznać rodzaj ciągu

Sprawdzamy zależność między sąsiednimi wyrazami:

• Stała różnica (odejmowanie) → arytmetyczny
• Stały iloraz (dzielenie) → geometryczny

Uwaga: ciąg może nie być ani jednym, ani drugim. Ciąg 1, 4, 9, 16 to kwadraty kolejnych liczb — różnice rosną, ilorazy maleją, więc nie należy do żadnej z tych grup.

Własność środkowego wyrazu

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. W geometrycznym jest średnią geometryczną, czyli pierwiastkiem z ich iloczynu.

To najszybszy sposób sprawdzenia, czy trzy liczby tworzą ciąg danego typu, a także wyznaczenia brakującego wyrazu w zadaniu.

Ciągi rosnące, malejące i monotoniczne

Ciąg nazywamy rosnącym, gdy każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, a malejącym w przypadku odwrotnym. Ciągi spełniające jeden z tych warunków określa się wspólnym mianem monotonicznych.

W ciągu arytmetycznym rozstrzyga znak różnicy: dodatnia daje ciąg rosnący, ujemna malejący, a zerowa stały. W geometrycznym sprawa jest ciekawsza, bo decyduje zarówno iloraz, jak i znak pierwszego wyrazu. Przy ilorazie ujemnym wyrazy na przemian zmieniają znak, więc ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący — nazywa się go wtedy naprzemiennym.

Ciągi w praktyce

Ciąg arytmetyczny opisuje wzrost o stałą kwotę — odkładanie tej samej sumy co miesiąc albo równomierne raty. Ciąg geometryczny odpowiada wzrostowi procentowemu, więc rządzi procentem składanym, rozmnażaniem organizmów i rozpadem promieniotwórczym.

Różnica między nimi bywa zaskakująca. Odkładając 100 złotych miesięcznie przez trzydzieści lat, zbierzemy 36 tysięcy. Ta sama kwota lokowana z zyskiem kilku procent rocznie daje wielokrotnie więcej — bo pierwszy przypadek to ciąg arytmetyczny, a drugi geometryczny.