Bryły obrotowe — walec, stożek i kula
Bryły obrotowe powstają przez obrót figury płaskiej wokół osi. Należą do nich walec z obrotu prostokąta, stożek z obrotu trójkąta prostokątnego oraz kula z obrotu półkola.
Bryły obrotowe łączy jedna cecha: każdą można wytworzyć, obracając figurę płaską wokół prostej. Poniżej trzy podstawowe wraz ze wzorami.
Skąd powstają
- Walec — z obrotu prostokąta wokół boku
- Stożek — z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej
- Kula — z obrotu półkola wokół średnicy
Konsekwencją jest to, że każdy przekrój prostopadły do osi obrotu jest kołem. To najprostszy sposób sprawdzenia, czy bryła jest obrotowa.
Walec
- Objętość — V = πr²H
- Pole powierzchni całkowitej — P = 2πr² + 2πrH
Wzór na pole staje się oczywisty po rozwinięciu bryły: dwa koła podstaw plus prostokąt o wymiarach 2πr na H, czyli powierzchnia boczna po „rozwinięciu” walca na płasko.
Stożek
- Objętość — V = ⅓πr²H
- Pole całkowite — P = πr² + πrl, gdzie l to tworząca
Tworząca, promień i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, więc obowiązuje między nimi twierdzenie Pitagorasa: l² = r² + H². To zależność potrzebna w większości zadań, bo zwykle podane są tylko dwie z trzech wielkości.
Kula
- Objętość — V = 4/3 πr³
- Pole powierzchni — P = 4πr²
Warto zauważyć zależność: pole powierzchni kuli równa się dokładnie czterokrotności pola koła o tym samym promieniu. To jedna z tych relacji, które łatwo zapamiętać i które ułatwiają kontrolę wyniku.
Zależności między bryłami
Stożek i walec o tej samej podstawie i wysokości mają objętości w stosunku 1 : 3. Jeśli dodać do tego kulę o promieniu równym promieniowi podstawy i wysokości równej średnicy, otrzymamy stosunek stożek : kula : walec równy 1 : 2 : 3.
Tę zależność odkrył Archimedes i uważał ją za swoje najważniejsze osiągnięcie — na jego życzenie wyryto ją na nagrobku.
Bryły obrotowe wokół nas
Kształty obrotowe dominują wszędzie tam, gdzie liczy się wytrzymałość na ciśnienie albo łatwość wytwarzania. Butelki, puszki, rury i zbiorniki mają przekrój kołowy, bo taki kształt rozkłada naprężenia równomiernie na cały obwód, bez punktów szczególnie obciążonych.
Drugi powód jest technologiczny: bryły obrotowe da się wytwarzać przez toczenie, czyli obracanie materiału i skrawanie go nieruchomym narzędziem. To jedna z najstarszych i najtańszych metod obróbki, stosowana od czasów koła garncarskiego aż po współczesne tokarki sterowane numerycznie.
Przekroje osiowe
Przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu daje charakterystyczne figury: dla walca prostokąt, dla stożka trójkąt równoramienny, dla kuli koło o promieniu równym promieniowi kuli.
Zadania często opierają się właśnie na przekroju osiowym — z jego wymiarów odtwarza się parametry bryły. Warto zaczynać od naszkicowania takiego przekroju, bo zamienia zadanie przestrzenne na płaskie, znacznie łatwiejsze do rozwiązania.