🧮 Matematyka ✓ Liczy na żywo

Kalkulator symbolu Newtona

Do czego służy

Ten kalkulator liczy symbol Newtona C(n, k), czytany „n po k” — czyli na ile sposobów można wybrać k elementów spośród n, gdy kolejność nie gra roli. Np. C(5,2) = 10. To ten wzór mówi, że w Lotto jest prawie 14 milionów kombinacji.

🧮 Policz od razu

Co liczy kalkulator symbolu Newtona?

Symbol Newtona C(n, k), czytany „n po k”, odpowiada na pytanie: na ile sposobów można wybrać k elementów spośród n, gdy kolejność wyboru nie ma znaczenia? Wpisujesz n (ile masz) i k (ile wybierasz), a kalkulator podaje liczbę możliwości z pełnym rozpisaniem silni. To najważniejsze narzędzie kombinatoryki — działu matematyki o zliczaniu możliwości.

Wzór z silniami

Wzór: n! ÷ (k! · (n−k)!) = C(n, k). Wykrzyknik to silnia — iloczyn liczb od 1 do danej: 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Intuicja wzoru: n! ustawia wszystkie elementy w kolejności, a dzielenie przez k! i (n−k)! „kasuje” kolejności wewnątrz wybranej grupy i reszty — bo przy wybieraniu kolejność nas nie obchodzi. Zostaje czysta liczba różnych zestawów.

Przykład krok po kroku

Na ile sposobów można wybrać 2 osoby z 5 do dyżuru? C(5, 2) = 5! ÷ (2! · 3!) = 120 ÷ (2 × 6) = 120 ÷ 12 = 10. Możesz to sprawdzić ręcznie: dla osób A, B, C, D, E pary to AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE — dokładnie dziesięć. Zwróć uwagę na symetrię: C(5, 2) = C(5, 3) — wybranie dwójki do dyżuru to to samo, co wybranie trójki „na wolne”.

Lotto, czyli 14 milionów powodów do pokory

Najsłynniejsze zastosowanie: w Lotto skreślasz 6 liczb z 49. Liczba możliwych kombinacji to C(49, 6) = 13 983 816 — prawie 14 milionów! Szansa na szóstkę jednym zakładem to 1 do 13 983 816. Wpisz n = 49 i k = 6 do kalkulatora i zobacz tę liczbę na własne oczy. Symbol Newtona pojawia się też w trójkącie Pascala i wzorach skróconego mnożenia (a+b)ⁿ — to matematyczny celebryta.

Gdzie się to przydaje?

Wszędzie tam, gdzie wybieramy bez kolejności: składy drużyn i delegacji, rozdania kart (ile 5-kartowych układów z talii 52? C(52,5) = 2 598 960!), pizze z wyborem 3 składników z 10, uściski dłoni w grupie (każda para wita się raz: C(n,2)). Na maturze rozszerzonej kombinatoryka i prawdopodobieństwo stoją na symbolu Newtona — a ten kalkulator sprawdzi każdy Twój wynik wraz z drogą obliczeń.

Najczęstsze pytania

Co oznacza symbol Newtona „n po k”?

Liczbę sposobów wyboru k elementów spośród n, gdy kolejność nie gra roli. Np. C(5,2) = 10 — tyle jest par w grupie 5 osób.

Jaki jest wzór na symbol Newtona?

C(n,k) = n! ÷ (k!·(n−k)!), gdzie ! to silnia (5! = 1·2·3·4·5 = 120). Dla C(5,2): 120 ÷ 12 = 10.

Ile jest kombinacji w Lotto?

C(49,6) = 13 983 816 — prawie 14 milionów sposobów skreślenia 6 liczb z 49. Stąd tak trudno o szóstkę.

Dlaczego C(n,k) = C(n,n−k)?

Bo wybranie k elementów to to samo, co wskazanie n−k elementów, których NIE bierzemy. Np. C(5,2) = C(5,3) = 10.

Masz inne pytanie?

Tryb:

✅ Odpowiedź